Предаддитивная категория

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов A, B множество \text{Hom}(A,B) имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

(g_1 + g_2)\circ f = g_1 \circ f + g_2 \circ f
g \circ (f_1+ f_2) = g \circ f_1 + g \circ f_2

Предаддитивную категорию иногда называют также Ab-категорией[1].

Примеры[править | править вики-текст]

Аддитивные функторы[править | править вики-текст]

Функтор T\colon A \to B называется аддитивным, если каждое отображение T\colon \text{Hom}_A(a_1,a_2) \to \text{Hom}_B(Ta_1,Ta_2) является гомоморфизмом абелевых групп.

Если \mathcal C и \mathcal D — категории, причём \mathcal D предаддитивна, то категория функторов Funct(\mathcal C, \mathcal D) также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если \mathcal C тоже предаддитивна, то категория Add(\mathcal C, \mathcal D) аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если \mathcal C предаддитивна, то категория Mod(\mathcal C) := Add(\mathcal C, \mathbf{Ab}) называется категорией модулей над \mathcal C. Если \mathcal C — предаддитивная категория из одного объекта — кольца R, это приводит к обычному определению (левых) R-модулей.

Ab\mbox{-}\mathbf{Cat} — категория всех малых Ab-категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

Специальные случаи[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Литература[править | править вики-текст]

  • Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.