Предельная точка
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Содержание |
[править] Определение
Пусть дано топологическое пространство 
, где X — произвольное множество, а 
— определённая на X топология. Пусть также задано подмножество 
. Точка 
называется предельной точкой множества A, если для любого открытого множества 
, такого что 
и
.
[править] Связанные понятия
Совокупность всех предельных точек множества A называется его произво́дным мно́жеством и обозначается A'.
Объединение самого множества A с его производным множеством A' называется замыканием множества и обозначается 
или [A].
[править] Свойства
- В метрических пространствах, если x — предельная точка A, то существует последовательность
целиком лежащая в A такая, что 
при 
.
- Топологические пространства для которых выполняется это свойсто называются пространства Фреше — Урысона
- Не всякая точка множества A обязана быть предельной. Обратно, предельная точка множества не обязана ему принадлежать.
- Любое бесконечное и ограниченное подмножество евклидова пространства имеет хотя бы одну предельную точку.
[править] Лемма о предельной точке
Пусть 
— бесконечное ограниченное подмножество числовой прямой. Тогда оно имеет хотя бы одну предельную точку, то есть 
Поскольку множество (назовём его X) ограничено, то существует отрезок [a,b], включающий X. Предположим, что ни одна точка этого отрезка не является предельной для X. Тогда окрестностями всех точек этого множества можно покрыть весь отрезок. Значит, по принципу Бореля-Лебега, из множества этих окрестностей (коих бесконечное число, так как во множестве X по условию число элементов бесконечно) можно выделить конечное подпокрытие [a,b] какими-то окрестностями 
. В каждой из этих окрестностей по условию конечное число элементов, всего окрестностей также конечное число, значит, всего в X конечное число элементов, что противоречит условию. Стало быть, у X действительно есть предельная точка.
[править] Примеры
Рассмотрим множество действительных чисел 
со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:
- (a,b)' = [a,b];
где 
— множество рациональных чисел;
где 
— множество целых чисел;
[править] Предельная точка последовательности
Предельной точкой числовой последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержатся элементы последовательности со сколь угодно большими номерами. Например, у последовательности an = 1 это точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).
