Предельная точка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преде́льная то́чка (точка накопления) множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение и типы предельных точек[править | править вики-текст]

Точка x называется предельной точкой подмножества A в топологическом пространстве X, если всякая проколотая окрестность точки x имеет с A непустое пересечение.

Точка x называется строго предельной точкой подмножества A, если всякая окрестность точки x имеет с A бесконечное число общих точек. Для T1-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты) понятия предельная точка и строго предельная точка равносильны.

Точка x называется точкой полного накопления подмножества A, если для всякой окрестности U точки x мощность пересечения U\cap A равна мощности множества A.

Связанные понятия и свойства[править | править вики-текст]

  • Все точки множества A делятся на два вида: предельные и изолированные точки. Изолированной называется такая точка x, у которой есть окрестность, не имеющая с A других общих точек, кроме x. Подмножество в A, состоящее из одной этой точки, является открытым в Aиндуцированной топологии).
  • Совокупность всех предельных точек множества A называется его произво́дным мно́жеством и обозначается A'. Все предельные точки множества входят в его замыкание \bar A. Более того, справедливо равенство: \bar A = A \cup A', из которого легко получается следующий критерий замкнутости подмножеств: Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.
  • В метрических пространствах, если x — предельная точка множества A, то существует последовательность точек из A сходящаяся к x. Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются пространствами Фреше — Урысона.
  • Топологическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в X.
  • Топологическое пространство X счётно компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну строгую предельную точку в X. Всякий компакт счётно компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.
(В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он счётно компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)
  • Замкнутое множество в хаусдорфовом пространстве называется совершенным, если каждая его точка является предельной (то есть, если множество не содержит изолированных точек). Примерами совершенных множеств могут служить отрезок прямой, множество Кантора.

Примеры[править | править вики-текст]

Рассмотрим множество вещественных чисел \mathbb{R} со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:

Предельная точка числового множества[править | править вики-текст]

В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества ~-\infty, если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой ~+\infty.[1]

Верхняя предельная точка числового множества — это наибольшая из его предельных точек.

Нижняя предельная точка числового множества — это наименьшая из его предельных точек.

Свойства[править | править вики-текст]

  • У любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, существуют и верхняя, и нижняя предельные точки (в множестве вещественных чисел). Если добавить в множество вещественных чисел ~-\infty и ~+\infty, то в получившемся множестве предельные точки имеют вообще все числовые множества с бесконечным числом элементов.
  • Из элементов любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся последовательность, элементы которой попарно различны.

Предельная точка последовательности[править | править вики-текст]

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности.[1]

~x — предельная точка последовательности \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists X \subseteq \N \colon \left| X \right| = \alef_0 \land \forall i \in X \colon \left| x_i - x\right| < \varepsilon

Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом.

Иногда в множество возможных предельных точек включают «~-\infty» и «~+\infty». Так если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что «~-\infty» является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что «~+\infty» является её предельной точкой.[1] При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке.
    ~x — предельная точка последовательности \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \Leftrightarrow \exists \left\{ k_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \forall i \in \N \colon k_{i} < k_{i + 1} \land \lim_{n \to \infty} x_{k_n} = x
    Иногда это свойство принимают за определение, а приведённое выше определение — за свойство.
  • Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.
    ~x, x' — предельные точки последовательности \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \land \exists \lim_{n \to \infty} x_n \Rightarrow x = x'
  • Предельная точка любой сходящейся числовой последовательности совпадает с её пределом.
    ~x — предельная точка последовательности \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \land \exists \lim_{n \to \infty} x_n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = x
  • Для любого конечного множества точек можно построить последовательность, для которой эти точки будут являться предельными и никакие, кроме них.
  • У произвольной числовой последовальности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).

Примеры[править | править вики-текст]

  • У последовательности из единиц \left\{ 1 \right\}_{n = 1}^{\infty} существует единственная предельная точка 1.
  • У последовательности \left\{ 1 / n \right\}_{n = 1}^{\infty} существует единственная предельная точка 0.
  • У последовательности натуральных чисел \left\{ n \right\}_{n = 1}^{\infty} нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка ~+\infty).
  • У последовательности \left\{ \left( -1 \right)^n \right\}_{n = 1}^{\infty} существуют две предельные точки: -1 и +1.
  • У последовательности из всех рациональных чисел \left\{ q_n \right\}_{n = 1}^{\infty}, занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

Литература[править | править вики-текст]

  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

См. также[править | править вики-текст]