Предел последовательности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера. Предел — одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Содержание

1 Определение
2 Общие свойства
3 Случай вещественных чисел
- 3.1 Свойства
- 3.2 Примеры
4 Случай комплексных чисел
5 Замечания
6 См. также

[править] Определение

Пусть дано топологическое пространство $T$ и последовательность $x n$ . Тогда, если существует элемент $x \in T$ такой, что

$\forall U(x) \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow x_n \in U(x))$ ,

где $U (x)$ — открытое множество, содержащее $x$ , то он называется пределом последовательности $x n$ . Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент $x \in T$ такой, что

$\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon)$ ,

где $d (x, y)$ — метрика, то $x$ называется пределом $x n$ .

Не у всякой последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве $x n$ последовательность $x n = ( - 1) n$ , то у неё не будет предела. Если у последовательности существует предел, то она называется сходящейся, если нет — расходящейся. В общем случае пределов может быть несколько. Например, если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства. Однако при наложении некоторых условий на пространство можно достичь единственности предела в случае его существования.

[править] Общие свойства

Если пространство хаусдорфово (в частности, если оно метрическое), то у каждой последовательности существует не более одного предела. Предположим, что имеется как минимум два разных предела, $x$ и $y$ . Возьмём их непересекающиеся окрестности: по определению предела, все элементы последовательности с достаточно большими номерами будут содержаться только в одной из них — значит, предположение о двух пределах неверно.

Верно обратное: если пространство нехаусдорфово, то существуют последовательности с более чем одним пределом.

[править] Случай вещественных чисел

Пределом последовательности вещественных чисел называется число $A$ , если выполнено следующее условие:

$\forall\varepsilon>0\exists N:\forall n(n>N\Rightarrow|x_n-A|<\varepsilon)$ ,

то есть для любой окрестности точки $A$ можно указать номер, начиная с которого все последующие элементы последовательности будут лежать в этой окрестности. Также можно дать эквивалентное определение: число $A$ называется пределом последовательности, если в любой его окрестности содержится бесконечное число элементов последовательности, а вне этой окрестности — лишь конечное число. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся к числу $A$ , если нет, то расходящейся. Тот факт, что число $A$ является пределом последовательности ${x n}$ , записывается следующим образом:

$\lim_{n\to\infty}{x_{n}}=A$ .

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Всё вышесказанное относилось к конечным пределам, но определение предела можно расширить и на бесконечные значения: $+\infty$ и $-\infty$ . Для примера запишем определение предела, равного плюс бесконечности:

$\forall M>0\exists N:\forall n(n>N\Rightarrow x_{n}>M)$ .

Термин «сходящаяся последовательность» не распространяется на последовательности с бесконечными пределами.

[править] Свойства

Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:

$\lim_{n\to\infty}{kx_{n}}=k\lim_{n\to\infty}{x_{n}}$ , где $k$ — константа;
$\lim_{n\to\infty}{(x_{n}+y_{n})}=\lim_{n\to\infty}{x_{n}}+\lim_{n\to\infty}{y_{n}}$ , если указанные пределы существуют;
$\lim_{n\to\infty}{(x_{n}\cdot y_{n})}=\lim_{n\to\infty}{x_{n}}\cdot \lim_{n\to\infty}{y_{n}}$ при том же условии;
$\lim_{n\to\infty}{\frac{x_{n}}{y_{n}}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}{x_{n}}}{\lim\limits_{n\to\infty}{y_{n}}}$ , если пределы существуют и $\lim_{n\to\infty}{y_{n}}\neq0$ .

Свойства 1—3 очевидным образом выводятся из определения предела; докажем последнее свойство. Для начала нужно доказать, что $1 / y n$ сходится к $1 / b$ , где $b$ — предел $y n$ . Рассмотрим разность $\left|\frac{1}{y_{n}}-\frac{1}{b}\right|$ . При достаточно больших $n$ она имеет смысл, так как $y n$ не равен нулю.

Проведём преобразования:

$\left|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{b}\right|=\left|\frac{1}{b}\right|\left|b-y_{n}\right|\left|\frac{1}{y_n}\right|$ . (1)

Последовательность $1 / y n$ ограничена, то есть меньше некоторого числа $M$ . Поскольку $y n$ сходится к $b$ , то существует $N:\forall n\left(n>N\Rightarrow|y_n-b|<\frac{\varepsilon|b|}{M}\right)$ . Подставим эти значения в выражение (1) и получим, что при таких $n$ разность $\left|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{b}\right|<\varepsilon$ , ч. т. д.

Верны также следующие теоремы:

Если при достаточно больших $n$ (или, как говорят, финально) выполняется неравенство $x n < y n$ , то, если обе последовательности имеют пределы $a$ и $b$ , можно утверждать, что $a\leqslant b$ . Для доказательства сначала доказывается обратный факт (если $a < b$ , то последовательности финально разграничены, а если $a = b$ , то о неравенстве членов последовательностей ничего сказать нельзя). Действительно, у $a$ и $b$ можно взять непересекающиеся окрестности (такие, что каждая точка первой лежит левее каждой точки второй на числовой прямой), в которых финально должны будут лежать та и другая последовательности.

Если финально $x n < y n < z n$ и пределы $x n$ и $z n$ равны $A$ , то предел $y n$ также существует и равен $A$ (так называемая теорема о двух милиционерах). Докажем её: для любого $\varepsilon$ при достаточно больших $n$ верно следующее:

$A-\varepsilon<x_n<y_n<z_n<A+\varepsilon$ ,

то есть $y n$ лежит в $\varepsilon$ -окрестности точки $A$ , а значит, $A$ по определению является её пределом.

Если две последовательности отличаются друг от друга лишь конечным числом членов и у одной из них есть предел, то предел есть и у другой и их пределы равны.
У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
Имеет место теорема Штольца.

[править] Примеры

Предел последовательности, все члены которой равны числу $x$ , равен $x$ .
Если у последовательности чисел $x n$ существует предел $x$ , и если задана функция $f (x)$ , определенная для каждого $x n$ и непрерывная в точке $x$ то
$\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$
Пределы последовательностей $x_n = \frac{1}{n}$ и $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$ равны 0.
Если у последовательности $x n$ существует предел, то последовательность средних арифметических $\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).
Если у последовательности положительных чисел $x n$ существует предел $x$ , то

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n} = \lim\limits_{n \to \infty} e^{\ln \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}} = \lim\limits_{n \to \infty} e^{\frac{\ln x_1 + \dots + \ln x_n}{n}} = e^{\ln x} = x$ .

Если последовательность $x n$ положительна, а у последовательности $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ существует предел, то к тому же пределу сходится последовательность $\sqrt[n]{x_n}$ . Для доказательства нужно применить предыдущий пример к последовательности $x_1, \frac{x_2}{x_1}, \frac{x_3}{x_2}, \dots$ . В частности, $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ .
Предел последовательности $x n = n$ равен $+\infty$ .
У последовательности $1, 2, 1, 2, \dots$ (единицы и двойки чередуются) нет предела.

[править] Случай комплексных чисел

Комплексное число $a$ называется пределом последовательности ${z n}$ , если для любого положительного числа $\varepsilon$ можно указать такой номер $N=N(\varepsilon)$ , начиная с которого все элементы $z n$ этой последовательности удовлетворяют неравенству
$|z_n - a|< \varepsilon$ при $n \ge N(\varepsilon)$