Представление Гейзенберга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Представление Гейзенберга — такое представление квантовой механики, при котором зависимость от времени с волновых векторов ( волновых функций (представление Шрёдингера) ) перенесена на операторы.

В таком представлении операторы (в частности, операторы координат и импульсов) явно зависят от времени, а волновой вектор ( волновая функция ) от времени не зависит.

Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга[править | править вики-текст]

Рассмотрим случай, когда оператор Гамильтона \hat H не зависит от времени. Разложим произвольную волновую функцию \Psi(\vec{r},t)~ по волновым функциям стационарных состояний \psi_{n}(\vec{r})~.

\hat H \psi_{n}(\vec{r})=E_{n}\psi_{n}~ — по определению стационарных состояний. E_{n}~ — собственная энергия состояния |n\rangle~ .

Тогда само разложение можно записать, как:

\Psi(\vec{r},t)=\sum_{n} c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar}\psi_{n}(\vec{r})~~~(1)

Введем унитарный оператор \hat S(t)=e^{-i\hat H t/\hbar}

Его собственные функции совпадают с собственными функциями оператора Гамильтона \hat H, то есть с функциями \psi_{n}(\vec{r})~. Тогда \hat S(t) обладает следующим свойством:

\hat S(t)\psi_{n}(\vec{r})=e^{-iE_{n}t/\hbar}\psi_{n}(\vec{r})~~~(2)

Используя этот оператор можно записать разложение ~(1) в виде:

\Psi(\vec{r},t)=\hat S(t)\Psi(\vec{r},0)~~

или, что то же самое:

~|\Psi(\vec{r},t)\rangle=\hat S(t)|\Psi(\vec{r},0)\rangle

Эта запись означает, что оператор \hat S(t)~ переводит состояние в начальный момент времени в состояние в произвольный момент времени.

Теперь для того, чтобы перевести зависимость от времени с волновой функции на произвольный оператор, мы рассмотрим среднее значение некого оператора \hat A:

\langle A(t) \rangle=\int\Psi^{*}(\vec{r},t)\hat A \Psi(\vec{r},t) d\vec{r} — по определению среднего значения оператора.

Используя оператор \hat S(t) и помня, что он унитарный, можно записать среднее значение оператора \hat A, как:

\langle A(t) \rangle=\int\Psi^{*}(\vec{r},0) \hat S^{-1}(t) \hat A \hat S(t) \Psi(\vec{r},0) d\vec{r} — по определению среднего значения оператора.

Таким образом мы приходим к связи произвольного оператора в представлении Гейзенберга и представлении Шрёдингера:

\hat A_H(t)=\hat S^{-1}(t) \hat A \hat S(t)


где \hat S(t)унитарный оператор, удовлетворяющий условию ~(2) .

Для Гейзенберговского представления не применимо уравнение Шрёдингера. Вместо него в представлении Гейзенберга используется уравнение Гейзенберга для квантовых наблюдаемых:

{d \over dt} \hat{A_H}= -{1\over i \hbar} [\hat{H},\hat{A_H}] + \frac{\partial \hat{A_H}}{\partial t}.

Переход к представлению Гейзенберга (Общий случай)[править | править вики-текст]

Волновой вектор, описывающий развитие состояния системы, удовлетворяет уравнению Шредингера:

 \hat H(t) \left| \Psi (t) \right\rangle = i \hbar \partial_t \left| \Psi (t) \right\rangle,~~(1)

где \hat H(t) - оператор Гамильтона.


Введем оператор эволюции \hat S(t,t_0), который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:

 \hat S(t,t_0) \left| \Psi(t_0) \right\rangle =\left| \Psi(t) \right\rangle~~(2)

Подставив формулу (2) в уравнение Шредингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:


\begin{cases}
i\hbar \partial_t \hat S(t,t_0) = \hat H(t) \hat S(t,t_0), ~~(3)  \\

\hat S(t_0,t_0)=\hat I.
\end{cases}

где \hat I - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

 \hat S(t,t_0)=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}

Теперь рассмотрим среднее значение оператора  \hat A некоторой наблюдаемой величины:

  \langle \hat A(t) \rangle=\langle \Psi(t)| \hat A(t) | \Psi(t)  \rangle=\langle \Psi(t_0)|\hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0) | \Psi(t_0) \rangle = \langle \Psi(t_0)| \hat A_H(t) | \Psi(t_0) \rangle

Таким образом, оператор  \hat A в представлении Гейзенберга определяется формулой:

 \hat A_H(t) = \hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0)~~(4)

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то

 \hat A_H(t) = e^{i\hat H(t-t_0)/\hbar} \hat A(t) e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}

Продифференцируем формулу  ~~(4) по времени и используем уравнение  ~~(3) , тогда получим уравнение движения операторa \hat A(t) в Гейзенберговском представлении:

i\hbar {d \over dt} \hat A_H(t)= -[\hat H(t),\hat A_H(t)] + i\hbar{\partial \over \partial t}\hat A_H(t)~~(5), 

где частная производная обозначает явную зависимость оператора \hat A(t) от времени.

Пример. Квантовый гармонический осциллятор.[править | править вики-текст]

Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:

 \hat H= \hbar\omega(\hat a_H^\dagger \hat a_H+1/2)

Т.к. операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шредингера, то уравнение ~(5) перепишется в виде

 i\hbar {d\over dt} \hat a_H(t)= - \hbar\omega [\hat a_H^\dagger \hat a_H+1/2,\hat a_H(t)]

 i\hbar {d\over dt} \hat a_H(t)= \hbar\omega\hat a_H(t)

  \hat a_H(t)=\hat a e^{-i\omega(t-t_0)}

  \hat a^{\dagger}_H(t)=\hat a^{\dagger} e^{i\omega(t-t_0)}

, где было использовано (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения [\hat a,\hat a^{\dagger}]_{\mp}=1

Применение[править | править вики-текст]

Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Боголюбов Н.Н., Ширков Д., Квантовые поля. М.: Наука, 1980. Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга. стр.55-56.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
  • Мессиа А., Квантовая механика. М.: Наука, 1978. Глава VIII. Параграф 10. Представление Гейзенберга. стр.306-307.
  • Садбери А., Квантовая механика и физика элементарных частиц (Мир, 1989) (490с)Параграф 3.4. Гейзенберговская картина. стр.154-155.
  • В.Г. Сербо, Хриплович И.Б. Квантовая механика:Учебное пособие. Новосибирский государственный университет, 2008. — 274 c. ISBN 978-5-94356-642-4

Ссылки[править | править вики-текст]