Представление Гейзенберга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причем вектор состояния от времени не зависит.

Описание представления Гейзенберга[править | править вики-текст]

Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряженный оператор \hat A , а чистое состояние описывается вектором из Гильбертого пространства  |\Psi\rangle . В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит,а эволюция системы описывается уравнением:

\frac{d}{dt}\hat A_H(t)=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A_H(t)]+\frac{\partial \hat A_H}{\partial t},

где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.

Связь между операторами в представлении Шредингера и Гейзенберга[править | править вики-текст]

Пусть \hat A(t) - оператор в представлении Шредингера, а \hat A_H(t) - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:

 \hat A_H(t) = \hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0),

где  \hat S(t,t_0) - оператор эволюции:

 \hat S(t,t_0)=T\left\{ \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(t')\, dt'}\right) \right\}, t > t_0
 \hat S(t,t_0)=\overline{T}\left\{ \exp\left({\frac{i}{\hbar} \int_t^{t_0} H(t')\, dt'}\right) \right\}, t < t_0

где T,\overline{T} - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то

 \hat S(t,t_0)=\exp\left({-\frac{i}{\hbar}\hat H(t-t_0)}\right),

и унитарное преобразование принимает вид:

 \hat A_H(t) = e^{i\hat H(t-t_0)/\hbar} \hat A(t) e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}

Переход от представления Шредингера к представлению Гейзенберга[править | править вики-текст]

Вектор состояния,в представлении Шредингера, удовлетворяет уравнению Шредингера:

 \hat H(t) \left| \Psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial \over \partial t} \left| \Psi (t) \right\rangle,

где \hat H(t) - оператор Гамильтона.

Введем оператор эволюции \hat S(t,t_0), который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:

 \hat S(t,t_0) \left| \Psi(t_0) \right\rangle =\left| \Psi(t) \right\rangle~~(2)

Подставив формулу (2) в уравнение Шредингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:


i\hbar  {\partial \over \partial t} \hat S(t,t_0) = \hat H(t) \hat S(t,t_0), ~~(3)

\hat S(t_0,t_0)=\hat I.

где \hat I - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

 \hat S(t,t_0)=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}

Теперь рассмотрим среднее значение оператора  \hat A некоторой наблюдаемой величины:

  \langle \hat A(t) \rangle=\langle \Psi(t)| \hat A(t) | \Psi(t)  \rangle=\langle \Psi(t_0)|\hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0) | \Psi(t_0) \rangle = \langle \Psi(t_0)| \hat A_H(t) | \Psi(t_0) \rangle

Таким образом, оператор  \hat A в представлении Гейзенберга определяется формулой:

 \hat A_H(t) = \hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0)~~(4)

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то

 \hat A_H(t) = e^{i\hat H(t-t_0)/\hbar} \hat A(t) e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}

Продифференцируем формулу  ~~(4) по времени и используем уравнение  ~~(3) , тогда получим уравнение движения операторa \hat A(t) в Гейзенберговском представлении:

{d \over dt} \hat A_H(t)= {i \over \hbar }[\hat H(t),\hat A_H(t)] + {\partial \over \partial t}\hat A_H(t)~~(5),

где частная производная обозначает явную зависимость оператора \hat A(t) от времени.

Пример. Квантовый гармонический осциллятор.[править | править вики-текст]

Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:

 \hat H= \hbar\omega(\hat a_H^\dagger \hat a_H+1/2)

Т.к. операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шредингера, то уравнение ~(5) перепишется в виде

 i\hbar {d\over dt} \hat a_H(t)= - \hbar\omega [\hat a_H^\dagger \hat a_H+1/2,\hat a_H(t)],
 i\hbar {d\over dt} \hat a_H(t)= \hbar\omega\hat a_H(t),
  \hat a_H(t)=\hat a e^{-i\omega(t-t_0)},
  \hat a^{\dagger}_H(t)=\hat a^{\dagger} e^{i\omega(t-t_0)}.

, где было использовано (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения [\hat a,\hat a^{\dagger}]_{\mp}=1

Применение[править | править вики-текст]

Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Боголюбов Н.Н., Ширков Д., Квантовые поля. М.: Наука, 1980. Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга. стр.55-56.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
  • Мессиа А., Квантовая механика. М.: Наука, 1978. Глава VIII. Параграф 10. Представление Гейзенберга. стр.306-307.
  • Садбери А., Квантовая механика и физика элементарных частиц (Мир, 1989) (490с)Параграф 3.4. Гейзенберговская картина. стр.154-155.
  • В.Г. Сербо, Хриплович И.Б. Квантовая механика:Учебное пособие. Новосибирский государственный университет, 2008. — 274 c. ISBN 978-5-94356-642-4

Ссылки[править | править вики-текст]