Представление группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Представле́ние гру́ппы (точнее, линейное представление группы) — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть G — заданная группа и W — векторное пространство. Тогда представление группы G — это отображение, ставящее в соответствие каждому элементу g\in G невырожденное линейное преобразование A_g: W \to W, причем выполняются свойства

A_{gh} = A_g \, A_h, \ \, A_{g^{-1}} = A_g^{-1} \quad (\forall g,h\in G).

Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы S_n и знакопеременной группы A_n играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь, группы Лоренца).

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Пусть A:G\to\operatorname{Aut}(W) есть представление группы G, здесь \operatorname{Aut}(W) — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства W. Размерностью представления A называется размерность векторного пространства (\dim W).
  • Представления A:G\to\operatorname{Aut}(W) и A':G\to\operatorname{Aut}(W') одной и той же группы G называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм C: W' \to W векторных пространств, что A'_g=C^{-1} A_g C \ (\forall g \in G). Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.
  • Представление A:G\to\operatorname{Aut}(W) называется прямой суммой представлений A^{(i)}:G\to\operatorname{Aut}(W_i), \ i=1,\ldots, n, если W=W_1\oplus \cdots \oplus W_n (здесь знак \oplus означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого g\in G подпространство W_i \subset W инвариантно относительно преобразования A_g: W\to W и индуцированное ограничением A_g на W_i представление G\to\operatorname{Aut}(W_i) эквивалентно A^{(i)}.

Типы представлений[править | править вики-текст]

  • Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.
  • Представление группы G называется приводимым, если в векторном пространстве W есть подпространство, отличное от нулевого и самого W, инвариантное для всех преобразований A_g: W \to W\quad (\forall g \in G). В противном случае представление называется неприводимым или простым. Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.
  • Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.
  • Представление называется регулярным, если W — пространство функций на группе G и линейное преобразование A_g: W \to W ставит в соответствие каждой функции f(\omega), \ \omega \in G, функцию f(g\omega), \ \omega \in G.
  • Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве W над полем \mathbb{C}, если все преобразования A_g: W \to W\quad (\forall g \in G) являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве W (над полем \mathbb{C}) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы G унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве W произвольное эрмитово скалярное произведение \langle x,y \rangle и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой (x,y) = \sum_{g\in G} \langle A_g(x),A_g(y) \rangle.
  • Если G ― топологическая группа, то под представлением G обычно понимается непрерывное линейное представление группы G в топологическом векторном пространстве.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
  • Представление симметрической группы S_n может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве W размерности n базис e_1, \ldots, e_n. Для каждой перестановки g\in S_n: \ (1,\ldots,n) \mapsto (i_1,\ldots,i_n) определим линейное преобразование A_g: W \to W, переводящее базисный вектор e_k\, в базисный вектор e_{i_k}, где k=1,\ldots, n. Таким образом получается n-мерное представление группы S_n.
  • Неприводимое двумерное представление группы S_3 можно получить, выбрав в плоскости W базис e_1, e_2,\, положив вектор e_3=-(e_1+e_2)\, и определив для каждой перестановки g\in S_3: \ (1,2,3) \mapsto (i_1,i_2,i_3) линейное преобразование A_g: W \to W, переводящее e_1\, в e_{i_1} и e_2\, в e_{i_2}.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

В более широком смысле, под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества X. Например:

Литература[править | править вики-текст]

  • Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп, — Любое издание.
  • Винберг Э. Б. Линейные представления групп, — Любое издание.
  • Наймарк М. А. Теория представлений групп, — Любое издание.
  • Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А. Представления групп
  • Шейнман О. К. Основы теории представлений, — М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.