Преобразование Гильберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике и обработке сигналов преобразование Гильберталинейный оператор, сопоставляющий каждой функции u(t) функцию H(u(t)) в той же области.

Преобразование Гильберта может быть определено в смысле главного значения интеграла по Коши:

 H(u)(t) = \frac{1}{\pi}\text{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac {u(\tau)} {t-\tau}\, d\tau

Или, более явно:

H(u)(t) = -\frac{1}{\pi}\lim_{\epsilon\to 0}\int\limits_{\epsilon}^\infty \frac{u(t+\tau)-u(t-\tau)}{\tau}\,d\tau.

При двукратном применении преобразования Гильберта функция меняет знак:

H(H(u))(t) = -u(t),\,

при условии, что оба преобразования существуют.

Связь с преобразованием Фурье[править | править вики-текст]

Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области.


\mathcal{F}(H(u))(\omega) = -i\ \mathrm{sgn}(\omega) \cdot \mathcal{F}(u)(\omega),

где  \mathcal{F}(u)(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {u}(t) e^{-i\omega t}dt — вариант прямого преобразования Фурье без нормировочного множителя.

Обратное преобразование[править | править вики-текст]

H^{-1} = -H\,

См. также[править | править вики-текст]