Преобразование Гильберта

В математике и обработке сигналов преобразование Гильберта — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции $u(t)$ функцию $H(u(t))$ в той же области.

Преобразование Гильберта может быть определено в смысле главного значения интеграла по Коши:

$H(u)(t) = \frac{1}{\pi}\text{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac {u(\tau)} {t-\tau}\, d\tau$

Или, более явно:

$H(u)(t) = -\frac{1}{\pi}\lim_{\epsilon\to 0}\int\limits_{\epsilon}^\infty \frac{u(t+\tau)-u(t-\tau)}{\tau}\,d\tau.$

При двукратном применении преобразования Гильберта функция меняет знак:

$H(H(u))(t) = -u(t),\,$

при условии, что оба преобразования существуют.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области.

$\mathcal{F}(H(u))(\omega) = -i\ \mathrm{sgn}(\omega) \cdot \mathcal{F}(u)(\omega),$

где $\mathcal{F}(f)(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt$ — вариант прямого преобразования Фурье без нормировочного множителя.

Обратное преобразование

$H^{-1} = -H\,$

См. также

• Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал.
• Численно-теоретические преобразования
• Преобразование Фурье
• Преобразование Лапласа
• Преобразование Гильберта-Хуанга