Преобразование Мёбиуса

Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная)

Не следует путать с обращением Мёбиуса.

Преобразование Мёбиуса — дробно-линейная функция одного комплексного переменного, тождественно не равная константе:

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d},\quad a,\;b,\;c,\;d\in\mathbb C,\quad ad-bc\ne 0.$

Легко проверяются следующие простые свойства:

1. Тождественное отображение $f(z)=z$ также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить $a=d=1,\;b=c=0$.
2. Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
3. Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Алгебраические свойства

При умножении параметров $a$, $b$, $c$, $d$ на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы $GL_2(\mathbb C)$, то есть имеет место эпиморфизм: $\left(\begin{matrix}a&&b\\c&&d\end{matrix}\right)\to\frac{az+b}{cz+d}$.

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца $SO^\uparrow(1,\;3)$.

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию $ad-bc=1$. Тогда, в зависимости следа этой матрицы, равного $a+d$, можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

• эллиптические: $|a+d|<2$;
• параболические: $a+d=\pm 2$;
• гиперболические: $|a+d|>2$.

Геометрические свойства

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ разложимо в суперпозицию четырёх функций:

$f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),$

где

$\begin{matrix}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{matrix}$

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек $z_1,\;z_2,\;z_3$ существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки $w_1,\;w_2,\;w_3$. Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка $w(z)$ является образом точки $z$, то выполняется равенство

$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w(z))(w_2-w_3)},$

которое (при условии, что $z_i \ne z_j, w_i \ne w_j$ при $i \ne j$) однозначно определяет искомое отображение $w(z).$

Преобразование Мёбиуса и единичный круг

Преобразование Мёбиуса

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

является автоморфизмом единичного круга $\Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|<1\}$ тогда и только тогда, когда $a{\bar b}=c{\bar d}$ и $\frac{bc}{ad}$ принадлежит полуинтервалу $[0,\;1)$.

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

$f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi}|=1.$

Примеры

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

$W(z)=\frac{z-i}{z+i}.$

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость ${\mathbb C}^+$ в единичный круг $\Delta$.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ссылки

• Moebius Transformations Revealed на YouTube.
  • то же (с русскими субтитрами).