Преобразование Радона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Радонаинтегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года[1].

Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.

Двумерное преобразование Радона[править | править вики-текст]

Двумерное преобразование Радона.
В данном случае R(s,α) есть интеграл от f(x,y) вдоль прямой AA'

Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.

Пусть f(x,y) функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции f(x,y) называется функция

R(s,\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(s\cos\alpha-z\sin\alpha,s\sin\alpha+z\cos\alpha)dz (1)

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору \vec{n}=(\cos\alpha,\sin\alpha) и проходящей на расстоянии s (измеренного вдоль вектора \vec{n}, с соответствующим знаком) от начала координат.

Связь преобразования Радона и преобразования Фурье. Формула обращения[править | править вики-текст]

Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции f(x,y)

F(k_x,k_y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-i (k_x x + k_y y)} dx dy (2)

Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой перпендикулярной вектору \vec{k}=(k_x,k_y), и изменяется наиболее быстро если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим \vec{k}=(k_x,k_y)=\omega(\cos\alpha,\sin\alpha), мы выберем новые переменные s=x\cos\alpha+y\sin\alpha, z=-x\sin\alpha+y\cos\alpha. Сделав замену переменных в интеграле, получаем

F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \left( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(s\cos\alpha-z\sin\alpha, s\sin\alpha+z\cos\alpha) e^{-i\omega s} dz \right) ds

т.е.

F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega s} R(s,\alpha) ds (3)

Таким образом, одномерное преобразование Фурье от преобразования Радона для функции f(x,y) есть не что иное как двумерное преобразование Фурье от функции f(x,y). Поскольку преобразование Фурье функции f(x,y) существует (это необходимое исходное допущение), то существует и обратное преобразование Фурье от функции F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha). Учитывая (3), можно заключить, что должно существовать и обратное преобразование Радона.

Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом

f(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} F(k_x,k_y) e^{i (k_x x + k_y y)}  dk_x dk_y.

Для наших целей удобно переписать эту формулу в полярных координатах

f(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_0^{2\pi} e^{i \omega(x\cos\alpha+y\sin\alpha)}F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha) \omega d\alpha d\omega,

что, учитывая (3), немедленно даёт формулу обратного преобразования Радона

f(x,y)=\frac{1 }{(2\pi)^2} \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{0}^{\infty} e^{i \omega(x\cos\alpha+y\sin\alpha)}\ \tilde{R}(\omega,\alpha) \omega d\omega d\alpha (4),

где \tilde{R}(\omega,\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} R(s,\alpha)e^{-i\omega s} ds.

Выражение (4), помимо того что является одним из вариантов записи обратного преобразования Радона, также определяет метод реконструкции f(x,y) из её проекций R(s,\alpha_i), называемый специалистами методом Фурье-синтеза. Таким образом, в методе Фурье-синтеза сначала необходимо сформировать из большого количества одномерных Фурье-образов проекций по полярной сетке \tilde{R}(\omega,\alpha_i) двумерный спектр \tilde{R}(\omega,\alpha) (при этом используется теорема о центральном сечении), а затем выполнить обратное двумерное преобразование Фурье в полярной системе координат от \tilde{R}(\omega,\alpha). Существуют и другие методы реконструкции f(x,y) из R(s,\alpha) [2]

Теорема о центральном сечении[править | править вики-текст]

Применим операцию прямого преобразования Фурье к преобразованию Радона от f(x,y):

\int\limits_{-\infty}^{\infty} R(s,\alpha) e^{-i \omega s}  ds =   \int\limits_{-\infty}^{\infty} [ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta(s - x \cos\alpha - y \sin\alpha) dx dy] e^{-i \omega s}  ds

Перестановка порядка интегрирования и применение фильтрующего свойства дельта функции приводят к формулировке теоремы о центральном сечении:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} R(s,\alpha) e^{-i \omega s}  ds =   \int\limits_{-\infty}^{\infty}  \int\limits_{-\infty}^{\infty} [\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega s} \delta(s - x \cos\alpha - y \sin\alpha) ) ds]  f(x,y) dx dy =
\int\limits_{-\infty}^{\infty}  \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-i \omega (x \cos\alpha + y \sin\alpha)} dx dy

Из последнего равенства, в частности, следует, что Фурье-образ проекции R(s,\alpha) представляет собой спектр функции f(x,y) вдоль прямой, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом \alpha + \pi/2 . Таким образом Фурье-образ проекции является центральным сечением двумерного Фурье-образа функции f(x,y). В литературе это свойство называют теоремой о центральном слое или центральном сечении.

Применение преобразования Радона[править | править вики-текст]

Схема получения рентгеновской томограммы

В компьютерной рентгеновской томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна \exp\left\{-\int\limits_{AA'}\rho(x,y) dz\right\}, где \rho(x,y) показатель поглощения вещества объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой AA' проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от показателя поглощения. Вращая систему из источника излучения и детектора вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показаной на рисунке, получают множество луч-сумм в выбранном срезе объекта. Затем, используя один из методов реконструкции, можно восстановить распределение показателя поглощения в любой точке прозондированной плоскости объекта.

Преобразование Радона для функции произвольного числа переменных[править | править вики-текст]

Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:

R(s,\vec{n})=\int \delta(\vec{n}  \vec{r}-s)f(\vec{r})d\vec{r} (2)

Здесь мы обозначили \vec{r}=(x,y) — радиус-вектор из начала координат,d\vec{r}=dx dy — двумерный элемент объёма, \vec{n} — единичный вектор, который можно параметризовать как \vec{n}=(\cos\alpha,\sin\alpha). С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.

Формула (2) тривиально обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под \vec{r}, dV и \vec{n} понимать соответственно N-мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в N-мерном пространстве и N-мерный единичный вектор. В принципе, вектор \vec{n} можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация \vec{n}=(\sin\theta\cos\alpha,\sin\theta\sin\alpha,\cos\theta).

Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости перпендикулярной вектору \vec{n} и проходящей на расстоянии s от начала координат (взятом со знаком минус если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором \vec{n}).

Обращение многомерного преобразования Радона[править | править вики-текст]

В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Покажем это.

Рассмотрим преобразование Фурье от R(s,\vec{n}) по переменной s, то есть

\int R(s,\vec{n})e^{-is\omega}ds.

Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим

\int R(s,\vec{n})e^{-is\omega}ds=\int f(\vec{r})e^{-i\vec{r}\vec{n}\omega}d\vec{r}.

Заметим теперь, что \int\limits_{0}^{\infty}\omega^{N-1} d\omega\int d\vec{n} есть интеграл по всему N-мерному пространству (здесь под интегралом \int d\vec{n} подразумевается интеграл по N-1 мерной сфере, в частности, для N=2 \int d\vec{n}=\int\limits d\alpha, для N=3 \int d\vec{n}=\int\limits d\phi\cos\theta d\theta). Из этого следует, что

\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\omega^{N-1}d\omega}{(2\pi)^N}\int d\vec{n} e^{i(\vec{r}'-\vec{r})\omega\vec{n}}=\delta(\vec{r}-\vec{r}').

Используя это представление векторной дельта-функции получаем формулу обращения

f(\vec{r}')=\int d\vec{n}\int\limits_0^{\infty}\frac{\omega^{N-1}d\omega}{(2\pi)^N}e^{i\vec{r}'\vec{n}\omega}\int ds e^{-is \omega}R(s,\vec{n}).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. J. Radon. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften, Bande 29, s. 262-277, Leipzig, 1917.
  2. Глава 1

Ссылки[править | править вики-текст]

  • И.С.Грузман Математические задачи компьютерной томографии. Соросовский образовательный журнал No. 5, 2001 pdf txt
  • Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications. New York: John Wiley & Sons, 1983.
  • Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001 ISBN 0-89871-493-1
  • Natterer, Frank and Frank Wubbeling, Mathematical Methods in Image Reconstruction. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001 ISBN 0-89871-472-9

См. также[править | править вики-текст]