Преобразование Стилтьеса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Стилтьеса — это интегральное преобразование, которое для функции f(x) имеет вид:

F(\tau) = \int_0^{\infty} \frac{f(x)}{x + \tau} dx,

где интегрирование ведётся по вещественной полуоси, а \tau меняется в комплексной плоскости, с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси.

Данное преобразование является преобразованием свёртки, оно возникает при итерировании преобразования Лапласа. Преобразование Стилтьеса связано также с проблемой моментов для полубесконечного промежутки и, как следствие, с некоторыми цепными дробями.

Если f(x)x^{\frac{1}{2}} непрерывна и ограничена на (0, \infty), то справедлива формула обращения:

f(x)= \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{2 \pi} \left( \frac{e}{n}\right)^{2 n} \frac{d^n}{dx^n}\left( x^{2 n} \frac{d^n}{dx^n}F(x)\right), \quad x > 0.

Впервые данное преобразование было рассмотрено Т. И. Стилтьесом.

Итерирование преобразования Лапласа[править | править исходный текст]

Обозначим прямое преобразования Лапласа функции f(x) (переменной x) как функцию новой переменной s как

\mathcal{L}\left\{f(x)\right\} (s)=\int\limits_0^\infty e^{-s x}f(x)\,dx.

Тогда повторное (итерированное) преобразование Лапласа

\mathcal{L}\left\{\mathcal{L}\left\{f(x)\right\} (s) \right\} (
\tau) = \int_0^{\infty} \frac{f(x)}{x + \tau} dx

представляет собой преобразование Стильтьеса (после взятия интегралла по s).

Поэтому многие свойства преобразования Стильтьеса могут быть получены непосредственное из свойств преобразования Лапласа.

Основные свойства и теоремы[править | править исходный текст]

Обозначим преобразование Стилтьеса функции f(x) как

\mathcal{S}\left\{f(x)\right\} = F(\tau).

Соответствующее обратное преобразование, обозначим как:

\mathcal{S}^{-1} \left\{F(\tau) \right\} = f(x).
  • Умножение оригинала на переменную

В сумме изображение оригинала, умноженного на переменную, и произведение переменной на образ равны константе, равной интегралу по положительной вещественной полуоси от оригинала:

\mathcal{S}\left\{x f(x)\right\} = \int_0^{\infty} f(x)dx - \tau F(\tau)


  • Разностная производная образов
\mathcal{S}^{-1}\left\{ \frac{F(\tau) - F(\alpha)}{\tau - \alpha}\right\} = - \frac{f(x)}{x + \alpha}, \quad |\operatorname{arg} (\alpha)| < \pi
  • Разностная производная оригиналов
\mathcal{S}\left\{ \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\right\} = \frac{\frac{1}{2}\left( F(a e^{i\pi}) + F(a e^{i\pi}) \right) - f(a) \ln \left( \frac{\tau}{a}\right) - F(\tau)}{\tau + a}, \quad a > 0
  • Растяжение по аргументу

При масштабировании переменной оригинала в a раз, переменная образа также масштабируется в a раз:

\mathcal{S}\left\{ f(a x)\right\} = F(a \tau), \quad a > 0
  • Дифференцирование оригинала

Сумма образа производной и производной образа равна константе, поделённой на переменную образа, причём данная константа равна значению оригинала в нуле, взятому с обратным знаком:

\mathcal{S}\left\{f'(x)\right\} = -\frac{f(0)}{\tau} - F'(\tau)

Обобщения[править | править исходный текст]

Обобщённое преобразование Стилтьеса[править | править исходный текст]

F(\tau) = \int_0^{\infty} \frac{f(x)}{(x + \tau)^{\rho}} dx.

Интегрированное преобразование Стилтьеса[править | править исходный текст]

F(\tau) = \int_{+0}^{\infty}K(\tau, x) f(x) dx,

где

K(\tau, x) = \left\{ \begin{matrix} 
\frac{\ln \frac{\tau}{x}}{\tau - x}, & \tau \neq x \\  
\frac{1}{\tau}, & \tau = x \\
\end{matrix} \right.

Литература[править | править исходный текст]

  • Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970