Преобразование Хартли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Хартли (Hartley transform) — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, но в отличие от последнего трансформирует одни вещественные функции в другие вещественные же функции. Преобразование было предложено в качестве альтернативы преобразованию Фурье Р. Хартли в 1942 году. Преобразование Хартли является одним из многих известных типов преобразований Фурье. Преобразование Хартли может быть и обратным.

Дискретный вариант преобразования Хартли был представлен Рональдом Брейсуэллом (англ.)русск. в 1983 году.

Определение[править | править исходный текст]

Прямое преобразование[править | править исходный текст]

Пребразование Хартли H(\omega) расчитывается по формуле

 H(\omega) = \left\{\mathcal{H}f\right\}(\omega) =  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t) \, \mbox{cas}(\omega t) \mathrm{d}t,
где
\mbox{cas}(t) = \cos(t) + \sin(t) = \sqrt{2} \sin (t+ \frac {\pi} {4}) = \sqrt{2} \cos (t- \frac {\pi} {4}) — ядро Хартли.

Обратное преобразование[править | править исходный текст]

Обратное преобразование получается по принципу инволюции:

f = \{\mathcal{H} \{\mathcal{H}f \}\}

Уточнения[править | править исходный текст]

  • Вместо того, чтобы использовать одинаковые формулы для прямого и обратного преобразования, можно ввести коэффициент \frac {1} {2\pi} для обратного и вынести тот же коэффициент из прямого преобразования Хартли. Этот способ называется асимметричной нормализацией;
  • Можно использовать коэффициент 2 \pi \nu t вместо \omega t, полностью опустив коэффициент \frac {1} {2\pi} ;
  • Можно использовать вычитание косинуса и синуса вместо их суммы.

Связь с преобразованием Фурье[править | править исходный текст]

Преобразование Хартли отличается от преобразования Фурье выбором ядра.

В преобразовании Фурье используется экспоненциальное ядро

\exp\left({-i\omega t}\right) = \cos(\omega t) - i \sin(\omega t),
где
i — мнимая единица.

Эти два преобразования тесно связаны, и если они имеют одинаковую нормализацию, то

F(\omega) = \frac{H(\omega) + H(-\omega)}{2} - i \frac{H(\omega) - H(-\omega)}{2}

Для вещественных функций f(t) преобразование Хартли превращается в комплексное преобразование Фурье:

\{ \mathcal{H} f \} = \Re \{ \mathcal{F}f \} - \Im \{ \mathcal{F}f \} = \Re \{ \mathcal{F}f \cdot (1+i) \},
где
\Re и \Im — действительная и мнимая часть функции соответственно.

Свойства[править | править исходный текст]

Преобразование Хартли — вещественный симметричный унитарный линейный оператор

Существует так же аналог теоремы свёртки: если две функции x(t) и y(t) имеют преобразования Хартли X(t) и Y(t) соответственно, то их свёртка z(t) = x * y будет иметь преобразование

Z(\omega) = \{ \mathcal{H} (x * y) \} = \sqrt{2\pi} \left( X(\omega) \left[ Y(\omega) + Y(-\omega) \right] + X(-\omega) \left[ Y(\omega) - Y(-\omega) \right] \right) / 2

Как и преобразование Фурье, преобразование Хартли будет являться чётной или нечётной функцией в зависимости от характера преобразуемой функции.

Cas[править | править исходный текст]

Свойства ядра Хартли вытекают из свойств тригонометрических функций. Так как

\mbox{cas}(t)=\sqrt{2} \sin (t+\pi /4),

то

 2 \mbox{cas} (a+b) = \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(-b) - \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(-b) \, и
 \mbox{cas} (a+b) = \cos (a) \mbox{cas} (b) + \sin (a) \mbox{cas} (-b) = \cos (b) \mbox{cas} (a) + \sin (b) \mbox{cas}(-a) \,

Производная ядра равна

 \mbox{cas}'(a) = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}a} \mbox{cas} (a) = \cos (a) - \sin (a) = \mbox{cas}(-a)

Литература[править | править исходный текст]