Преобразование Хартли

Преобразование Хартли — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, но которое преобразует вещественные функции в вещественные функции. Преобразование было предложено в качестве альтернативы преобразованию Фурье Р. Хартли в 1942 году. Преобразование Хартли является одним из многих известных типов преобразований Фурье. Преобразование Хартли может быть и обратным.

Дискретный вариант преобразования Хартли был представлен Рональдом Брасвеллом (англ.)русск. в 1983 году.

Определение

Прямое преобразование

Пребразование Хартли $H(\omega)$ расчитывается по формуле

$H(\omega) = \left\{\mathcal{H}f\right\}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t) \, \mbox{cas}(\omega t) \mathrm{d}t,$

где

$\mbox{cas}(t) = \cos(t) + \sin(t) = \sqrt{2} \sin (t+ \frac {\pi} {4}) = \sqrt{2} \cos (t- \frac {\pi} {4})$ — ядро Хартли.

Обратное преобразование

Обратное преобразование получается по принципу инволюции:

$f = \{\mathcal{H} \{\mathcal{H}f \}\}$

Уточнения

• Вместо того, чтобы использовать одинаковые формулы для прямого и обратного преобразования, можно ввести коэффициент $\frac {1} {2\pi}$ для обратного и вынести тот же коэффициент из прямого преобразования Хартли. Этот способ называется асимметричной нормализацией;
• Можно использовать коэффициент $2 \pi \nu t$ вместо $\omega t$, полностью опустив коэффициент $\frac {1} {2\pi}$;
• Можно использовать вычитание косинуса и синуса вместо их суммы.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Хартли отличается от преобразования Фурье выбором ядра.

В преобразовании Фурье используется экспоненциальное ядро

$\exp\left({-i\omega t}\right) = \cos(\omega t) - i \sin(\omega t),$

где

$i$ — мнимая единица.

Эти два преобразования тесно связаны, и если они имеют одинаковую нормализацию, то

$F(\omega) = \frac{H(\omega) + H(-\omega)}{2} - i \frac{H(\omega) - H(-\omega)}{2}$

Для вещественных функций $f(t)$ преобразование Хартли превращается в комплексное преобразование Фурье:

$\{ \mathcal{H} f \} = \Re \{ \mathcal{F}f \} - \Im \{ \mathcal{F}f \} = \Re \{ \mathcal{F}f \cdot (1+i) \},$

где

$\Re$ и $\Im$ — действительная и мнимая часть функции соответственно.

Свойства

Преобразование Хартли — вещественный симметричный унитарный линейный оператор

Существует так же аналог теоремы свёртки: если две функции $x(t)$ и $y(t)$ имеют преобразования Хартли $X(t)$ и $Y(t)$ соответственно, то их свёртка $z(t) = x * y$ будет иметь преобразование

$Z(\omega) = \{ \mathcal{H} (x * y) \} = \sqrt{2\pi} \left( X(\omega) \left[ Y(\omega) + Y(-\omega) \right] + X(-\omega) \left[ Y(\omega) - Y(-\omega) \right] \right) / 2$

Как и преобразование Фурье, преобразование Хартли будет являться чётной или нечётной функцией в зависимости от характера преобразуемой функции.

Cas

Свойства ядра Хартли вытекают из свойств тригонометрических функций. Так как

$\mbox{cas}(t)=\sqrt{2} \sin (t+\pi /4),$

то

$2 \mbox{cas} (a+b) = \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(-b) - \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(-b) \,$ и

$\mbox{cas} (a+b) = \cos (a) \mbox{cas} (b) + \sin (a) \mbox{cas} (-b) = \cos (b) \mbox{cas} (a) + \sin (b) \mbox{cas}(-a) \,$

Производная ядра равна

$\mbox{cas}'(a) = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}a} \mbox{cas} (a) = \cos (a) - \sin (a) = \mbox{cas}(-a)$

Литература

• Hartley, R. V. L., A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems, Proc. IRE 30, 144—150 (1942).
• Bracewell, R. N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986) (also translated into Japanese and Polish)
• Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (also translated into German and Russian)
• Bracewell, R. N., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 381—387 (1994).
• Millane, R. P., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 413—428 (1994).
• Villasenor, John D., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 391—399 (1994).