Преобразования Галилея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразова́ния Галиле́я — в классической механике (механике Ньютона) и нерелятивистской квантовой механике преобразования координат и скорости при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой[1]. Термин был предложен Филиппом Франком в 1909 году.[2] Преобразования Галилея опираются на принцип относительности Галилея, который подразумевает одинаковость времени во всех системах отсчета («абсолютное время»[3]).

Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в пустоте и в ограниченном объёме пространства. Для скоростей вплоть до порядка скоростей движения планет в Солнечной системе (и даже бо́льших), преобразования Галилея приближенно верны с очень большой точностью.

  • Требование (постулат) принципа относительности вместе с преобразованиями Галилея, представляющимися достаточно интуитивно очевидными, можно считать во многом определяющим структуру ньютоновской механики. Вместе же с такими дополнительными идеями, как симметрия пространства и принцип суперпозиции в том или ином виде (утверждающий эквивалентность взаимодействия многих тел в малый промежуток времени композиции воображаемых последовательных попарных взаимодействий этих тел), преобразования Галилея могут быть практически достаточным основанием для формулировки ньютоновской механики (вывода ее основных законов).

Вид преобразований при коллинеарных осях[4][править | править вики-текст]

Если ИСО S' движется относительно ИСО S с постоянной скоростью u \ вдоль оси x \ , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

x' = x - u t , \
{y'} = y , \
{z'} = z , \
t' = t \

или, используя векторные обозначения,

\vec {r'} = \vec r - \vec u t , \
t' = t \

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

  • Как видим, это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчета).


Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчета:

\vec {v'} = \vec v - \vec u ,
\vec {a'} = \vec a
  • Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для малых скоростей u \ll c (много меньше скорости света).

Формула преобразования скоростей[править | править вики-текст]

Достаточно продифференцировать \vec r в формуле преобразований Галилея, приведенной выше, и сразу же получится приведенная в том же параграфе рядом формула преобразования скорости.


Приведем более элементарный, но и более общий вывод — для случая произвольного движения начала отсчета одной системы относительно другой (при отсутствии вращения). Для такого более общего случая, можно получить формулу преобразования скоростей, например, так.

Рассмотрим преобразование произвольного сдвига начала отсчета на вектор \vec r_o,

где радиус-вектор какого-то тела A в системе отсчета K обозначим за \vec r, а в системе отсчета K'  — за \vec {r'},

подразумевая, как всегда в классической механике, что время t в обеих системах отсчета одно и то же, а все радиус-векторы зависят от этого времени: \vec r_o = \vec r_o(t), \vec r = \vec r(t), \vec {r'} = \vec {r'}(t).

Тогда в любой момент времени

\vec r = \vec r_o + \vec {r'}

и в частности, учитывая

\Delta \vec r = \vec r (t+\Delta t) - \vec r (t),~ 
\Delta \vec r_o = \vec r_o (t+\Delta t) - \vec r_o (t),~
\Delta \vec {r'} = \vec {r'} (t+\Delta t)-\vec {r'} (t),

имеем:

\begin{matrix} 
\vec r (t) = \vec r_o (t) + \vec {r'} (t)\\
\vec r (t+\Delta t) = \vec r_o (t+\Delta t) + \vec {r'} (t+\Delta t)
\end{matrix}
{\Bigg\}} 
\quad \Rightarrow \quad \Delta \vec r = \Delta \vec r_o + \Delta \vec {r'} \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec r_o}{\Delta t} + \frac{\Delta \vec {r'}}{\Delta t}


\Rightarrow \quad <\vec V> = <\vec V_o> + <\vec{V'}>

где:

<\vec V> — средняя скорость тела A относительно системы K;
<\vec V'> — средняя скорость тела А относительно системы K' ;
<\vec V_o> — средняя скорость системы K' относительно системы K.

Если \Delta t \rightarrow 0 то средние скорости совпадают с мгновенными:

\vec V \;= \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\; \Bigg( <\vec V_o>+<\vec{V'}> \Bigg) = \vec V_o + \vec{V'}

или короче

\vec V \;= \vec V_o + \vec{V'}

— как для средних, так и для мгновенных скоростей (формула сложения скоростей).

Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

  • (Аналогично можно получить формулу преобразования ускорений при переходе из одной системы координат в другую, верную при условии, что эти системы движутся поступательно друг относительно друга: \vec a = \vec {a'} + \vec{a_o} ).

Преобразования Галилея в нерелятивистской квантовой механике[править | править вики-текст]

Уравнение Шрёдингера в нерелятивистской квантовой механике инвариантно относительно преобразований Галилея. Из этого факта вытекает ряд важных следствий: существование ряда операторов квантовой механики, связанных с преобразованиями Галилея (группа Шрёдингера), невозможность описания состояний со спектром масс или нестабильные элементарные частицы в нерелятивистской квантовой механике (теорема Баргмана), существование квантовомеханических инвариантов, порождаемых преобразованием Галилея.[5]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Являясь чисто кинематическими, преобразования Галилея применимы и к неинерциальным системам отсчета — но лишь при условии их равномерного прямолинейного поступательного движения друг относительно друга — что ограничивает их важность в таких случаях. Вместе с привилегированной ролью инерциальных систем отсчета, этот факт приводит к тому, что в подавляющем числе случаев о преобразованиях Галилея говорят именно в связи с последними.
  2. Frank P. /Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien.—1909.— Ila, Bd 118.—S. 373 (esp. p. 382).
  3. от абсолютного времени физике, вообще говоря, пришлось отказаться в начале ХХ-го века — ради сохранения принципа относительности в его сильной формулировке, подразумевающей требование одинаковости записи всех фундаментальных уравнений физики в любой (инерциальной; а позднее принцип относительности был распространен и на неинерциальные) системе отсчета.
  4. Принципиальный интерес с точки зрения физики представляет собой лишь случай, когда оси координат (если вообще используется координатное представление; к символической векторной форме записи этот вопрос можно считать не имеющим отношения) инерциальных систем, между которыми производится преобразование, направлены одинаково. В принципе они могут быть направлены и по-разному, но преобразования такого сорта представляют с физической точки зрения лишь технический интерес, так как сводятся к композиции преобразования с сонаправленными осями, рассмотренного в данной статье, и фиксированного (не зависящего от времени) поворота осей координат, представляющего чисто геометрическую задачу, к тому же в принципе несложную. Поворот же осей, зависящий от времени, означал бы вращение координатных систем друг относительно друга, и по крайней мере одна из них не могла бы тогда быть инерциальной.
  5. Кемпфер, 1967, с. 390

Литература[править | править вики-текст]

  • Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики. — М.: Мир, 1967. — 391 с.

См. также[править | править вики-текст]