Преобразование координат

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном $n$-мерном многообразии.

Пример перехода от полярных координат $\{r,\varphi \}$ к декартовым $\{x,y\}$ на евклидовой плоскости:

${\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}$

Чаще всего преобразование координат производится для перехода к более простой или более удобной для анализа математической модели. Например, уравнения некоторых плоских кривых в полярных координатах существенно проще, чем в декартовых, а для исследования осесимметричных тел удобно направить одну из осей координат вдоль оси симметрии.

Определение

Преобразование координат — совокупность правил, ставящих в соответствие каждому набору координат $\{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\}$ на некотором $n$-мерном многообразии другой набор координат $\{x_{1}',x_{2}'\dots x_{n}'\}$:

${\begin{cases}x_{1}'=x_{1}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\x_{2}'=x_{2}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\\dots \\x_{n}'=x_{n}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\end{cases}}$

При этом после преобразования должно сохраняться однозначное соответствие между точками многообразия и наборами координат (допускаются исключения для некоторых особых точек).

Сводку основных формул преобразования для практически важных координатных систем см. в статье Система координат.

Трактовка

Активная (слева) и пассивная (справа) точки зрения на вращение. Слева поворачивается плоскость, справа — оси координат.

Преобразование координат может трактоваться двояко.

1. Пассивная точка зрения — происходит смена координат точек многообразия. Все точки при этом остаются на своих местах.
2. Активная точка зрения — преобразование ставит в соответствие каждой точке многообразия другую точку. Система координат при этом не меняется.

Пример для евклидовой плоскости:

${\begin{cases}x'=x+1\\y'=y\end{cases}}$

Данное преобразование можно истолковать одним из двух способов.

1. Смена системы координат, которая увеличивает абсциссы всех точек на 1.
2. Перенос всех точек плоскости на 1 параллельно оси $x.$

Классификация

По типу формул все преобразования координат можно сгруппировать в разнообразные классы с общими типовыми свойствами. Далее перечислены некоторые практически особо важные классы преобразований, которые могут комбинироваться один с другим.

• Изометрия — преобразования, сохраняющие все длины. В том числе:
  • Вращение вокруг точки или оси.
  • Параллельный перенос.
  • Отражение. Сочетание этих трёх типов называется движением.
• Конформное отображение, сохраняющее все углы. В том числе:
  • Подобие — углы сохраняются, но все длины умножаются на некоторый постоянный коэффициент растяжения/сжатия.
• Аффинное преобразование.

Обычно выделенный класс является группой преобразований в смысле общей алгебры, то есть композиция двух преобразований относится к тому же классу и для каждого преобразования существует обратное. Исследование этой группы позволяет выделить симметрии и инварианты преобразований.

Инварианты

Инвариантом данного преобразования координат называется функция координат, значения которой после преобразования не меняются. Например, вращения и переносы не меняют расстояния между точками евклидова пространства. Инварианты являются важной характеристикой группы преобразований.

См. также

• Вектор (геометрия)
• Инвариант (математика)
• Преобразования Галилея
• Преобразования Лоренца
• Тензор
• Эрлангенская программа

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1986. — 544 с.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Яглом И. М. Геометрические преобразования. Тома 1, 2. — М.: Гостехиздат, 1956, 612 с.

Ссылки

• Заславский А. А. Геометрические преобразования Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine.