Прецессия Томаса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преце́ссия То́маса — кинематический эффект специальной теории относительности, проявляющийся в изменении ориентации векторов, связанных с неинерциальной системой отсчёта, относительно лабораторной системы отсчёта[1]. Использован Люэлином Томасом в 1926 году для объяснения спин-орбитального взаимодействия электрона в атоме[2]. Если на вращающийся гироскоп действует сила, изменяющая его скорость, но отсутствует момент силы, то в классической механике такой гироскоп при движении будет сохранять ориентацию собственного момента вращения (спина). В теории относительности это уже не так, и при изменении скорости гироскопа будет происходить и изменение вектора его спина. Математически этот эффект связан с групповыми свойствами преобразований Лоренца — их некоммутативностью.

История вопроса[править | править вики-текст]

Эффект Томаса был известен французскому математику Э. Борелю в 1913 г. [3] [4] Борель отметил некоммутативность неколлинеарных преобразований Лоренца и оценил в низшем порядке по 1/с2 угол поворота координатный осей движущейся с ускорением системы отсчета. В том же году два математика из Гeттенгена Фоппл и Даниэл [5] получили точное релятивистское выражение для угла поворота при движении тела по окружности. Примерно в то же время прецессия координатных осей обсуждалась Зильберштейном. [6] В 1922 году Э. Ферми рассмотрел параллельный транспорт систем отсчета в общей теории относительности. [7] В пространстве Минковского транспорт Ферми приводит к прецессии Томаса. Наконец, в 1926 году в журнале «Природа» была опубликована заметка Томаса [8], которая объяснила отклонение на фактор ½ данных измерений от предсказаний теории тонкой структуры атома водорода, связывавшей спин-орбитальное расщепление с прецессией Лармора. Томас ограничился вычислением в низшем порядке по 1/с2. Работа привлекла большое внимание, и эффект прецессии координатных осей при ускоренном движении стал называться «прецессией Томаса». Единственным источником, который был известен Томасу, являлась работа Де Ситтера о прецессии Луны, опубликованная в сборнике Артура Эддингтона [9].

Описание эффекта[править | править вики-текст]

Пусть неинерциальная система отсчёта в момент времени t имеет относительно лабораторной (инерциальной) системы отсчёта K скорость v, а в момент времени t+dt — скорость v+dv. Свяжем в эти моменты времени с неинерциальной системой две сопутствующие ей инерциальные системы K' и K", движущиеся со скоростями \mathbf{v} и v+dv. Обозначим через \mathbb{L}(\mathbf{v}) матрицу преобразования Лоренца. Пусть скорость системы K" относительно K' равна dv'. Переход от лабораторной системы отсчёта к системе K', а затем от системы K' к системе K" описывается произведением лоренцевских матриц:

\mathbb{L}(d\mathbf{v}')\,\mathbb{L}(\mathbf{v})=\mathbb{R}(\mathbf{n}, d\phi)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v}),

где \mathbb{R}(\mathbf{n}, \phi) — матрица 3-мерного вращения декартовых осей вокруг единичного вектора \mathbf{n} на угол \phi и последовательность матриц обратна последовательности выполняемых преобразований. Параметры этого вращения равны:

\mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma-1}{v^2}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}],

где dv и dv' связаны стандартным релятивистским законом сложения скоростей, а \gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2/c^2} — лоренцевский фактор и cскорость света. Таким образом, композиция чистых преобразований Лоренца в общем случае равна не чистому преобразованию Лоренца (бусту), а композиции буста и поворота. Связано это с тем, что группа Лоренца описывает повороты в 4-мерном пространстве-времени. В зависимости от того, в какой плоскости происходит вращение, это может быть буст, 3-мерное вращение или их комбинация. Вращение, возникающее в результате композиции лоренцевских бустов, называется вигнеровским вращением.

Пусть с неинерциальной системой отсчёта связан некоторый вектор S. Если при изменении скорости системы все векторы переносятся параллельным образом с точки зрения сопутствующих систем отсчёта, то в результате вигнеровского вращения происходит поворот этих векторов, который можно записать в форме следующего уравнения Томаса:

\frac{d\mathbf{S}}{dt}=-\frac{\gamma-1}{v^2}\,[\mathbf{v}\times\mathbf{a}]\times\mathbf{S},

где a=dv/dt — ускорение относительно лабораторной системы отсчёта. В случае равномерного движения по окружности с угловой скоростью \omega, скорость и ускорение перпендикулярны друг другу. В силу уравнения Томаса происходит поворот вектора S с постоянной угловой скоростью

\Omega = -(\gamma-1)\,\omega.

Это уравнение было получено впервые Л. Фопплом и П. Даниэлом. [5] В случае гироскопа данное вращение вектора углового момента называется прецессией Томаса.

В атоме водорода прецессия спина электрона уменьшает спин-орбитальное взаимодействие в два раза. В разложении по степеням 1/c2 уравнения Дирака для атома водорода «половинка Томаса» появляется автоматически. Разнообразные физические и геометрические аспекты прецессии Томаса обсуждаются в монографиях [1] [2] и статьях методического характера [10] [11] [12] [13].


См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Мёллер К. Теория относительности. — М.: Атомиздат, 1975. — 400 с.
  2. 1 2 Джексон Д. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965. — 702 с.
  3. Émile Borel La théorie de la relativité et la cinématique // Comptes Rendus des séances de l’Académie des Sciences 156. — 1913, p. 215.
  4. Émile Borel La cinématique dans la théorie de la relativité // Comptes Rendus des séances de l’Académie des Sciences 157. — 1913, p. 703.
  5. 1 2 Ludwig Föppl and Perrey Daniell Zur Kinematik des Born’schen starren Körpers // Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft Wissenschaften zu Göttingen. — 1913, pp. 519–529.
  6. L. Silberstein The Theory of Relativity. — London: MacMillan, 1914. — 400 с.
  7. Enrico Fermi Sopra i fenomeni che avvengono in vicinanza di una linea araria // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 31. — 1922, pp. 21, 51.
  8. L. H. Thomas Motion of the spinning electron // Nature 117. — 1926, p. 514.
  9. A. S. Eddington The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge, 1924.
  10. John A. Rhodes, Mark D. Semon Relativistic velocity space, Wigner rotation and Thomas precession // Am. J. Phys. 72. — 2004, p. 943.
  11. Silagadze, Z. K. Relativity without Tears // Acta Physica Polonica B, vol. 39, Issue 4. — 2008, p. 811.
  12. Степанов С. С. Прецессия Томаса для спина и стержня // Физика Элементарных Частиц и Атомного Ядра. — 2012. — Т. 43. — № 1. — С. 246 - 282.

13.  Малыкин Г.Б.  Прецессия Томаса: корректные и некорректные решения // Успехи Физических Наук, Том 176, стр. 865–882 (2006)