Приближение почти свободных электронов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Приближение почти свободных электронов — метод в квантовой теории твёрдого тела, в котором периодический потенциал кристаллической решётки считается малым возмущением относительно свободного движения валентных электронов.

Приближение почти свободных электронов предусматривает возникновение узких запрещённых зон в результате брегговской дифракции электронов на периодическом потенциале кристаллической решётки.

Математическая формулировка[править | править вики-текст]

Гамильтониан, что описывает движение электрона в потенциальном поле ядер атомов в приближении среднего поля задаётся формулой

 \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\mathbf{r}) ,

где \hbarпостоянная Планка, m — масса электрона,V(\mathbf{r}) — периодический потенциал, который учитывает взаимодействие электрона с кристаллической решёткой и другими электронами.

Волновую функцию электрона, которая должна удовлетворять теореме Блоха, можно искать в виде разложения в ряд Фурье

 \psi_{\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} \sum_{\mathbf{G}} a_{\mathbf{k} +\mathbf{G}}e^{i\mathbf{G}\cdot \mathbf{r}} 
,

где \mathbf{k}волновой вектор, \mathbf{G} — вектор обратной решётки.

Если потенциал  V(\mathbf{r}) малый по величине по сравнению с кинетической энергией электрона, то движение электронов можно считать почти свободным. Энергия электрона задаётся формулой

 E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.

Эта формула справедлива всюду в зоне Бриллюэна, кроме того случая, когда волновая функция поступательного движения электрона будет интерферировать с волной, рассеянной на периодическом потенциале. Такая ситуация складывается тогда, когда  \mathbf{k} \approx \mathbf{G}/2. В этой области волновых векторов используется приближение, согласно которому амплитуды прямой и рассеянной волны определяются системой уравнений:

 \left( \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - E \right) a_{\mathbf{k}} + V_{\mathbf{-G}}a_{\mathbf{k} - \mathbf{G}} = 0 ,
 \left( \frac{\hbar^2 (\mathbf{k} - \mathbf{G})^2}{2m} - E \right) a_{\mathbf{k} - \mathbf{G}} + V_{\mathbf{G}}a_{\mathbf{k}} = 0 ,

где V_{\mathbf{G}} — коэффициенты разложения потенциала в ряд Фурье. Эта система уравнений имеет нетривиальное решение при выполнении условия

 \left( \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - E \right)\left( \frac{\hbar^2 (\mathbf{k} - \mathbf{G})^2}{2m} - E \right) - 
V_{\mathbf{G}}V_{\mathbf{-G}} = 0  ,

что задаёт закон дисперсии электронных состояний на границе зоны Бриллюэна. Непосредственно на границе ( \mathbf{k} \cdot \mathbf{G} = \mathbf{G}^2/2)

 E =  \frac{\hbar^2 G^2}{8m} \pm |V_{\mathbf{G}}| .

В промежутке энергий между E =  \frac{\hbar^2 G^2}{8m} - |V_{\mathbf{G}}| и E =  \frac{\hbar^2 G^2}{8m} + |V_{\mathbf{G}}| электронных уровней нет, чем определяется существование узкой запрещённой зоны.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ансельм А.И. Введение в физику полупроводников.. — Москва: Наука., 1978.