Призма (геометрия)

Множество однородных призм
Шестиугольная призма
Тип	Однородный многогранник
Свойства	вершинно транзитивный выпуклый многогранник
Комбинаторика
Элементы	3n ребра 2n вершины
Грани	Всего - 2+n 2{n} n {4}
Конфигурация вершины	4.4.n
Двойственный многогранник	Бипирамида
Развёртка
Классификация
Символ Шлефли	{n}×{} or t{2, n}
Диаграмма Дынкина
Группа симметрии	Dnh, [n,2], (*n22), порядок 4n
Медиафайлы на Викискладе

При́зма ($n$-угольная) (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками ($n$-угольниками), лежащими в параллельных плоскостях, а остальные $n$ граней — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.

Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.

Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.

Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).

Элементы призмы

Название	Определение	Обозначения на чертеже	Чертеж
Основания	Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях.	$ABCDE$, $KLMNP$	Призма
Боковые грани	Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом.	$ABLK$, $BCML$, $CDNM$, $DEPN$, $EAKP$
Боковая поверхность	Объединение боковых граней.
Полная поверхность	Объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые рёбра	Общие стороны боковых граней.	$AK$, $BL$, $CM$, $DN$, $EP$
Высота	Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям.	$KR$
Диагональ	Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.	$BP$
Диагональная плоскость	Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.	$EBP$
Диагональное сечение	Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат.	$EBLP$
Перпендикулярное (ортогональное) сечение	Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.

Свойства призмы

• Основания призмы являются равными многоугольниками.
• Боковые грани призмы являются параллелограммами.
• Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
• Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

$V=S\cdot h$

• Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен

$V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}$ (здесь s — длина стороны многоугольника).

• Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
• Площадь боковой поверхности произвольной призмы $S=P\cdot l$, где $P$ — периметр перпендикулярного сечения, $l$ — длина бокового ребра.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы $S=P\cdot h$, где $P$ — периметр основания призмы, $h$ — высота призмы.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным $n$-угольным основанием равна

$A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.$

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
• Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
• Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками.

Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.

Усечённая треугольная призма

Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).

Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.

Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью. Усечённая призма сама призмой не является.

Диаграммы Шлегеля

Основная статья: Диаграмма Шлегеля

Треугольная призма

4-угольная призма

5-угольная призма

6-угольная призма

7-угольная призма

8-угольная призма

Симметрия

Группой симметрии прямой $n$-угольной призмы с правильным основанием является группа D_nh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии O_h порядка 48, содержащую три версии D_4h в качестве подгрупп. Группой вращений является D_n порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O порядка 24, имеющая три версии D₄ в качестве подгрупп.

Группа симметрии D_nh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.

Обобщения

Призматические многогранники

Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. $n$-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.

Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.

Возьмём $n$-мерный многогранник с элементами $f_{i}$ (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический ($n+1$)-мерный многогранник будет иметь $2f_{i}+f_{-1}$ элементов размерности i (при $f_{-1}=0$, $f_{n}=1$).

По размерностям:

• Берём многоугольник с $n$ вершинами и $n$ сторонами. Получим призму с 2$n$ вершинами, 3$n$ рёбрами и $2+n$ гранями.
• Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами, $2e+v$ рёбрами, $2f+e$ гранями и $2+f$ ячейками.
• Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами, $2e+v$ рёбрами, $2f+e$ (2-мерными) гранями, $2c+f$ ячейками и $2+c$ гиперячейками.

Однородные призматические многогранники

Правильный $n$-многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, ..., t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, ..., t}×{}.

По размерностям:

• Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
  • 
• Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
  • Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
• многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • Пример: Пятиугольная призма, {5}×{}, два параллельных пятиугольника связаны пятью прямоугольными сторонами.
• 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p, q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p, q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  • Пример: додекаэдральная призма, {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра, соединённых 12 пятиугольными призмами (сторонами).
• …

Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.

Семейство правильных призм

Многоугольник
Мозаика
Конфигурация	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4

Скрученная призма и антипризма

Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол ${\frac {\pi }{q}}$ радиан (${\frac {180}{q}}$ градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми.

Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.

Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: D_n, [n,2]⁺, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.

Треугольная	Четырёхугольные		12-угольная
Многогранник Шёнхардта	Скрученная квадратная антипризма	Квадратная антипризма	Скрученная двенадцатиугольная антипризма

Связанные многогранники и мозаики

Семейство правильных призм

Многоугольник
Мозаика
Конфигурация	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4

Семейство выпуклых куполов

n	2	3	4	5	6
Название	{2} || t{2}	{3} || t{3}	{4} || t{4}	{5} || t{5}	{6} || t{6}
Купол	Диагональный купол	Трёхскатный купол	Четырёхскатный купол	Пятискатный купол	Шестискатный купол (плоский)
Связанные однородные многогранники	Треугольная призма	Кубооктаэдр	Ромбокубо- октаэдр	Ромбоикосо- додекаэдр	Ромботри- шестиугольная мозаика

Симметрии

Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3].

Варианты симметрии *n32 усечённых мозаик: 3.2n.2n
Симметрия *n32 [n,3]	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболич.		Параком- пактная	Некомпактная гиперболич.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Усечённые фигуры
Конфигурация	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14	3.16.16	3.∞.∞	3.24i.24i	3.18i.18i	3.12i.12i
Разделённые фигуры
Конфигурация	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию.

Варианты симметрии *n42 расширенных мозаик: 3.4.n.4
Симметрия *n32 [n,3]	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболическая		Паракомпактная
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Фигура
Конфигурация	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Соединение многогранников

Существует 4 однородных соединения треугольных призм:

Соединение четырёх треугольных призм, соединение восьми треугольных призм, соединение десяти треугольных призм, соединение двенадцати треугольных призм.

Соты

Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:

• гироудлинённые альтернированные кубические соты,
• удлинённые альтернированные кубические соты,
• повёрнутые треугольные призматические соты,
• плосконосые квадратные призматические соты,
• треугольные призматические соты,
• треугольно-шестиугольные призматические соты,
• усечённые шестиугольные призматические соты,
• ромботришестиугольные призматические соты,
• плосконосые шестиугольные призматические соты,
• удлинённые треугольные призматические соты.

Связанные многогранники

Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников. Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −1₂₁.

k21 в пространстве размерности n
Пространство	Конечное						Евклидово	Гиперболическое
En	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈+	E₁₀ = T₈ = E₈++
Диаграмма Коксетера
Симметрия	[3−1,2,1]	[30,2,1]	[31,2,1]	[32,2,1]	[33,2,1]	[34,2,1]	[35,2,1]	[36,2,1]
Порядок	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Граф							-	-
Обозначение	−121	021	121	221	321	421	521	621

Четырёхмерное пространство

Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников, включая:

тетраэдральная призма	октаэдральная призма	кубооктаэдральная призма	икосаэдральная призма	икосододекаэдральная призма	усечённая додекаэдральная призма
ромбоикоси- додекаэдральная призма	ромбокуб- октаэдральная призма	усечённая кубическая призма	плосконосая додекаэдральная призма	n-угольная антипризматическая призма
скошенный 5-ячейник	скошено-усечённый 5-ячейник	обструганный 5-ячейник	струг-усечённый 5-ячейник	скошенный тессеракт	скошено-усечённый тессеракт	обструганный тессеракт	струг-усечённый тессеракт
скошенный 24-ячейник	скошено-усечённый 24-ячейник	обструганный 24-ячейник	струг-усечённый 24-ячейник	скошенный 120-ячейник	скошено-усечённый 120-ячейник	обструганный 120-ячейник	струг-усечённый 120-ячейник

См. также

• Антипризма
• Параллелограмм
• Параллелепипед

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Prism (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
• Nonconvex Prisms and Antiprisms  (недоступная ссылка с 12-03-2018 [2229 дней])
• Surface Area MATHguide
• Volume MATHguide
• Paper models of prisms and antiprisms Развёртки призм и антипризм
• Paper models of prisms and antiprisms Развёртки, созданные системой Stella.
• Stella: Polyhedron Navigator: Программы для создания 3D- и 4D-изображений, приведённых на этой странице.