Признак Дини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Признак Ди́ни — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из L_2([-\pi,\pi]) сходится к ней в смысле L_2-нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее, при некоторых дополнительных условиях (например, в случае, когда функция гладкая или хотя бы удовлетворяет условию Гёльдера или Липшица с каким-нибудь положительным показателем) поточечная сходимость всё же имеет место.

Сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки t, то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дини устанавливает весьма общее условие такой сходимости. Назван в честь итальянского математика Улисса Ди́ни.

Признак Дини[править | править исходный текст]

Положим для \delta>0

\omega_f(t,\delta)=\sup\limits_{s: |s-t|\leqslant \delta}|f(t)-f(s)|.

(модуль непрерывности функции f в точке t).

Если функция f удовлетворяет условию

\int\limits_{0+}\limits\frac{\omega_f(t,\delta)\,d\delta}{\delta} <+\infty ,

то её ряд Фурье в точке t сходится к f(t) .


Замечание. Условия признака Дини выполняются, в частности, при

\omega_f(t,\delta)\leqslant C\left(\frac1{\mathop{\mathrm{ln}}\frac1\delta}\right)^\gamma,

где \gamma>1 (Это гораздо более слабое условие, чем любое условие Гёльдера). Взять \gamma=1 нельзя.

Модифицированный признак Дини[править | править исходный текст]

Справедлива также модификация признака Дини для случая, когда функция f имеет разрыв в точке t, но, тем не менее, её сужения на промежутки (t-\varepsilon,t) и  (t,t+\varepsilon) могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини.

Пусть f_+,f_- — некоторые числа. Положим для \delta>0

\omega^+_{f,f_+}(t,\delta):=\sup\limits_{s\in (t,t+\delta)}|f(s)-f_+|,

\omega^-_{f,f_-}(t,\delta):=\sup\limits_{s\in (t-\delta,t)}|f(s)-f_-|.

Если числа f_+, f_- и функция f таковы, что

\int\limits_{0+}\limits\frac{\omega^+_{f,f_+}(t,\delta)\,d\delta}{\delta} <+\infty,

\int\limits_{0+}\limits\frac{\omega^-_{f,f_-}(t,\delta)\,d\delta}{\delta} <+\infty,

то ряд Фурье функции f в точке t сходится к \frac{f_++f_-}2.

Признак Дини — Липшица[править | править исходный текст]

Если модуль непрерывности функции f в точке t удовлетворяет условию

\omega_f(t,\delta)=o\left(\frac1{\mathop{\mathrm{ln}}\frac1\delta}\right),

то ряд Фурье функции f в точке t сходится к f(t)

Точность признаков Дини и Дини — Липшица[править | править исходный текст]

Если возрастающая неотрицательная функция \Omega такова, что

\int\limits_{0+}\limits\frac{\Omega(\delta)\,d\delta}{\delta} =+\infty,

то существует функция f, такая, что

\omega_f(t,\delta)\leqslant \Omega(\delta)

при всех достаточно маленьких \delta, и ряд Фурье функции f расходится в точке t.

Существует функция f с расходящимся в нуле рядом Фурье, удовлетворяющая условию

\omega_f(0,\delta)=O\left(\frac1{\mathop{\mathrm{ln}}\frac1\delta}\right),

Пример применения признака Дини: сумма обратных квадратов[править | править исходный текст]

Рассмотрим периодическое продолжение функции x^2 с промежутка [-\pi,\pi):

f(x)=\left(\pi\left\{\frac{x}{\pi}\right\}\right)^2,

где фигурные скобки означают дробную часть числа. Несложно найти разложение этой функции в ряд Фурье:

f(x) \sim \frac{\pi^2}3+4\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx

Подставляя x=0 и x=\pi, и пользуясь для обоснования поточечной сходимости соответственно обычным и модифицированным признаком Дини, получаем равенства:

\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}

и

\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

См. также[править | править исходный текст]