Признак Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода[править | править вики-текст]

Пусть выполнены условия:

Тогда \int\limits_a^{+\infty}f(x)g(x)\,dx сходится.

  • Очевидно, что вместо второго условия можно также записать g(x)\in C^1[a,\;+\infty),\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad\forall x>a.
  • Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.
\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt x+\sin x}\,dx=\infty.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

\int\limits_2^{+\infty}\frac{\sin x}{x+2\sin x}\,dx — сходится.
  • Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа[править | править вики-текст]

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд \sum_{n=1}^\infty a_nb_n, где |B_n|=\left|\sum_{k=1}^n b_k\right|\leqslant M\quad\forall n\in\N и последовательность \{a_n\} — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)[править | править вики-текст]

Пусть выполнены условия:

Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty a_nb_n сходится.

  • Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  • Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}c_n,\quad c_n>0,\;c_{n+1}\leqslant c_n\quad\forall n\in\N,\quad\lim_{n\to\infty}c_n=0;
b_n=(-1)^{n+1}\Rightarrow|B_n|=\left|\sum_{k=1}^n(-1)^{n+1}\right|\leqslant 1\quad\forall n\in\N\Rightarrow сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.
  • Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^\infty a_nb_n и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: |r_n|=\left|\sum_{k=n+1}^\infty a_kb_k\right|\leqslant 2Ma_{n+1}\quad\forall n\in\N.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.