Признак д’Аламбера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Признак Д’Аламбера»)
Перейти к навигации Перейти к поиску


При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для неотрицательного числового ряда

существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

,

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, , при этом не существует такого , , что для всех , начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме[править | править код]

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если  — расходится.

Замечание 1. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если , и последовательность стремится к своему пределу сверху, то про ряд всё-таки можно сказать, что он расходится.

Доказательство[править | править код]

  1. Пусть, начиная с некоторого номера , верно неравенство , где . Тогда можно записать , , …, , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим , откуда . Это означает, что ряд меньше бесконечной суммы убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые членов (последовательности ) роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
  2. Пусть (начиная с некоторого N): тогда можно записать . Это означает, что модуль членов последовательности не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
  3. Пусть , начиная с некоторого . При этом не существует такого , , что для всех , начиная с некоторого номера . В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда и удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда верно для любого натурального . В то же время, поскольку , это означает, что для любого , можно подобрать такое число , что , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности , где , будут находиться на интервале , то есть . А это и означает, что не существует такого , , что для всех . Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.

Примеры[править | править код]

  • Ряд абсолютно сходится для всех комплексных , так как
  • Ряд расходится при всех , так как
  • Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда и удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Другой пример, для которого нужен признак Раабе:

Ссылки[править | править код]

  • d'Alembert, J. (1768), Opuscules, vol. V, pp. 171—183.
  • Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1
  • Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, Bibcode:1956iss..book.....K, ISBN 978-0-486-60153-3: § 3.3, 5.4.
  • Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Bertrand criterion", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Gauss criterion", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Kummer criterion", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (4th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2