Признак Д’Аламбера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

\sum_{n=0}^\infty a_n

существует такое число q, 0<q<1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q,

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1,

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме[править | править исходный текст]

Если существует предел

\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если \rho<1, а если \rho>1 — расходится.

Замечание. Если \rho=1, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство[править | править исходный текст]

  1. q<1, тогда существует \varepsilon>0\colon\;q+\varepsilon<1\;\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)<q+\varepsilon, существует n_0, для любого n>n_0\;\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)<q+\varepsilon=\frac{(q+\varepsilon)^{n+1}}{(q+\varepsilon)^n}.
    Ряд из b_n=(q+\varepsilon)^n сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из a_n сходится (по признаку сравнения).
  2. q>1, тогда существует \varepsilon>0\colon\;q-\varepsilon>1\;\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)>q-\varepsilon>1. a_{n+1}>a_n для любого n>n_0. Тогда a_n не стремится к нулю и ряд расходится.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Ряд
\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}
абсолютно сходится для всех комплексных z, так как
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^n}/{n!}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0.
  • Ряд
\sum_{n=0}^\infty n!\;z^n
расходится при всех z\neq0, так как
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^n}\right|=\lim_{n\to\infty}|(n+1)z|=\infty.
  • Если \rho=1, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}   и   \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}
удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится.