Признак Д’Аламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

существует такое число $q$, $0<q<1$, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q,$

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1,$

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

$\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,$

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если $\rho<1$, а если $\rho>1$ — расходится.

Замечание. Если $\rho=1$, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

1. $q<1$, тогда существует $\varepsilon>0\colon\;q+\varepsilon<1\;\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)<q+\varepsilon$, существует $n_0$, для любого $n>n_0\;\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)<q+\varepsilon=\frac{(q+\varepsilon)^{n+1}}{(q+\varepsilon)^n}$.
   Ряд из $b_n=(q+\varepsilon)^n$ сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из $a_n$ сходится (по признаку сравнения).
2. $q>1$, тогда существует $\varepsilon>0\colon\;q-\varepsilon>1\;\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)>q-\varepsilon>1$. $a_n+1>a_n$ для любого $n>n_0$. Тогда $a_n$ не стремится к нулю и ряд расходится.

Примеры

• Ряд

$\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$

абсолютно сходится для всех комплексных $z$, так как

$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^n}/{n!}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0.$

• Ряд

$\sum_{n=0}^\infty n!\;z^n$

расходится при всех $z\neq0$, так как

$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^n}\right|=\lim_{n\to\infty}|(n+1)z|=\infty.$

• Если $\rho=1$, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$   и   $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.