Признак сходимости Д’Аламбера

Текущая версия (не проверялась)

Признак Д’Аламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном Д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

существует такое число $q$ , $0 < q < 1$ , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

$\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \le q,$

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

$\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| > 1,$

то ряд расходится.

В частности, если существует предел

$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right|,$

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если $ρ < 1$ , а если $ρ > 1$ — расходится (признак сходимости Д’Аламбера в предельной форме).

[править] Примеры

$\sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {n!}$

абсолютно сходится для всех комплексных

z

, так как

$\lim \left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right| = \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,$

$\sum_{n=0}^\infty n! \; z^n$

расходится при всех $z\not=0$ , так как

$\lim \left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right| = \lim |(n+1)z| = \infty.$

$\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n$ и $\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.