Пример Адамара

Пример Адамара иллюстрирует возможность некорректной постановки классической задачи Коши.

Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения Лапласа:

$u_{tt}(x,t)=-u_{xx}(x,t),~t>0$;

$u\mid _{t=0}=0,~~u_{t}\mid _{t=0}={\frac {1}{k}}\sin {kx}$.

Тогда несложно показать, что решением такого уравнения будет функция:

$u_{k}(x,t)={\frac {\operatorname {sh} \,kt}{k^{2}}}\sin {kx}$.

При $k\rightarrow +\infty$ видно, что ${\frac {1}{k}}\sin {kx}\rightrightarrows 0$ по $x$; следовательно, решение должно также приближаться к нулю. Однако же, в общем случае, когда $x\neq \pi n,n=0,\pm 1,\dots ,u_{k}(x,t)\not \to 0,~k\rightarrow \infty$. То есть, непрерывной зависимости от начальных данных нет и, следовательно, задача поставлена некорректно.

См. также

• Начальные и граничные условия

Литература

• Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — Любое издание.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.

Ссылки

• Корректность по Адамару