Принцип Фрагмена — Линделёфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем случае для неограниченных областей такое предположение неверно. Однако при наложении на функцию некоторых дополнительных ограничений можно показать, что функция будет ограничена по модулю и в неограниченной области.

Принцип Фрагмена — Линделёфа для неограниченного сектора[править | править исходный текст]

Пусть функция f аналитична в секторе S=\{z:-\frac{\pi}{4}<\arg z<\frac{\pi}{4}\} и непрерывна на его границе. Тогда, если на границе этого сектора справедливо неравенство |f(z)|\le 1 и существуют постоянные c,C\in\mathbb R такие, что во всем секторе выполняется неравенство |f(z)|\leq Ce^{c|z|}, тогда неравенство |f(z)|\le 1 справедливо во всем секторе.

Принцип Фрагмена — Линделёфа для вертикальной полуполосы[править | править исходный текст]

Пусть \Omega=\{z:\mathop{\mathrm{Im}}\,z>y_0,x_1<\mathop{\mathrm{Re}}\,z<x_2\} — бесконечная вертикальная полуполоса, далее, пускай существуют постоянные M, A, B такие, что на границе полосы выполнено неравенство |f(z)|\le M, а в самой полосе выполняется неравенство |f(z)|\le B{(\mathop{\mathrm{Im}}\,f(z))}^A. Тогда |f(z)|\le M выполнено во всей полосе.