Принцип аргумента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Контур C изображён чёрным, нули f — синим, а полюса — красным. В данном случае \oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi i (4-5).

Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему:

Теорема. Если функция f мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области G с гладкой границей \partial G и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула:

N-P = {1\over 2\pi i}\int\limits_{\partial G}{df\over f} = {1\over 2\pi}\Delta_{\partial G}\, \operatorname{arg}\, f,

где N и P — количества соответственно нулей и полюсов функции f в G, учтённых каждый с его кратностью, а \Delta_{\partial G}\, \operatorname{arg}\, f — изменение аргумента f(z) при обходе вдоль контура области G (ориентация контура стандартная).

Доказательство[править | править исходный текст]

Пусть f(z) = (z-a)^k g(z), причём функция g голоморфна в точке a и не равна в ней нулю (точка a из области G). Тогда

{df\over f} = k{dz\over z-a} + {dg\over g}.

Так как 1-форма \frac{dg}{g} голоморфна в точке a, её вычет в этой точке равен нулю, и вычет формы \frac{df}{f} в точке a равен k, то есть он равен порядку нуля (или минус порядку полюса) функции f в этой точке.

Используя эти соображения и основную теорему о вычетах, интеграл в формулировке теоремы можно вычислить явно:

{1\over 2\pi i}\int\limits_{\partial G}{df\over f} = \sum\limits_a\operatorname{res}_a{df\over f} = N - P.

Таким образом, первая половина формулы доказана.

Чтобы доказать вторую половину формулы, проведём простой разрез \Gamma внутри области G, проходящий через все нули и полюса функции f, и выходящий на границу области G в некоторой точке z_0. Область с разрезом G\\Gamma теперь односвязна, и замкнутая 1-форма \frac{df}{f} не имеет особенностей внутри неё и на контуре \partial G , и значит точна в \overline G\setminus\Gamma, то есть допускает там первообразную F(z). Функция F(z) будет первообразной для формы \frac{df}{f} также и вдоль контура области G с выколотой точкой z_0. Поэтому можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

\int\limits_{\partial G}{df\over f} = \int\limits_{\partial G\setminus\{z_0\}}dF = F(z_0 - 0) - F(z_0 + 0).

Так как dF = \frac{df}{f} = d(\ln f)\,, то функция F(z) с точностью до константы совпадает с некоторой однозначной ветвью логарифма функции f, и поэтому справедливо равенство:

\,F(z) = \ln |f(z)| + i \arg f(z) + {\rm{const}}.

Подставляя это выражение в формулу Ньютона-Лейбница, окончательно получаем:

\int\limits_{\partial G}\,\frac{df}{f} = F(z_0 - 0) - F(z_0 + 0) = i(\arg f(z_0 - 0) - \arg f(z_0 + 0)) = i\Delta_{\partial G}\arg f.

См. также[править | править исходный текст]