Принцип наименьшего принуждения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

При́нцип наименьшего принуждения, или при́нцип Га́усса, состоит в том, что в каждый момент времени истинное движение системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным связям, отличается от всех кинематически возможных движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отклонения от свободного движения, то есть принуждение, есть минимум.

Принцип наименьшего принуждения относится к числу дифференциальных вариационных принципов механики и предложен[1] К. Ф. Гауссом в 1829 г. в работе «Об одном новом общем законе механики». Принцип применим к механическим системам с идеальными связями и сформулирован Гауссом так: «движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной»[2].

Формулировка принципа у Гаусса не отличалась достаточной определённостью. Для аналитического оформления данного принципа большое значение имела[3] работа Г. Шеффлера (1820—1903) «О Гауссовом основном законе механики», опубликованная в 1858 г. В ней Шеффлер переопределил[4] принуждение как следующее (в современных обозначениях[5]) выражение:

Z\;=\;\frac{1}{2}\;\overset{}{\overset{N}{\underset{i=1}{\sum}}}\,m_{i}\left(\mathbf{w}_{i}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)^{2}  ,

где  N — число точек, входящих в систему,  m_{i} — масса i-й точки, \mathbf{F}_{i} — равнодействующая приложенных к ней активных сил,  \mathbf{w}_{i} — ускорение данной точки (в действительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причём множитель перед знаком суммы у него отсутствовал). После этого математическим выражением принципа наименьшего принуждения стало наличие минимума у функции Z.

Обоснование[править | править исходный текст]

Рис.1

Пусть точка механической системы с массой m_{i} в момент времени t_{0} находится в положении M_{i}. При свободном движении точка за очень малый промежуток \tau пройдёт расстояние  M_{i}A_{i}\,=\,\mathbf{v}_{i}\,\tau  (рис.1), где  \mathbf{v}_{i} — скорость точки в момент времени t_0. Если же на точку будет действовать активная сила \mathbf{F}_{i}, точка под воздействием этой силы совершит перемещение \overline{M_{i}B_{i}}. Разложив в ряд по времени вектор перемещения, будем иметь:

\mathbf{r}(t_{0}+\tau)\;=\;\mathbf{r}(t_{0})+\overset{\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\,\tau+\frac{1}{2}\;\overset{\cdot\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\,\tau^{2}+...

Но

\overset{\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\;=\;\mathbf{v}, \;\;\overset{\cdot\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\;=\;\mathbf{w}\;=\;\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}

Поэтому это перемещение с точностью до малых третьего порядка будет равно:

\overline{M_{i}B_{i}}\;=\;\mathbf{v}_{i}\,\tau+\frac{1}{2}\;\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\,\tau^{2}

Если же на точку наложить связи, то её перемещение по действием силы \mathbf{F}_{i} и при наличии связей будет с точностью до малых третьего порядка равно:

\overline{M_{i}C_{i}}\;=\;\mathbf{v}_{i}\,\tau+\frac{1}{2}\;\mathbf{w}_{i}\,\tau^{2} ,

где \mathbf{w}_{i} — ускорение точки в её действительном движении. Тогда отклонение точки от свободного движения будет представлено вектором \overline{B_{i}C_{i}}. Очевидно, что

 \overline{B_{i}C_{i}}\;=\;\overline{M_{i}C_{i}}-\overline{M_{i}B_{i}}\;=\;\frac{1}{2}\;\tau^{2}\left(\overset{\cdot\cdot}{\mathbf{r_{i}}}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)

с точностью до малых третьего порядка. За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принял величину, пропорциональную квадрату отклонения \overline{B_{i}C_{i}}, которую и назвал принуждением. Принуждение для точки с массой m_{i} имеет следующее выражение:

Z_{i}\;=\;\frac{1}{2}\;m_{i}\left(\overset{\cdot\cdot}{\mathbf{r_{i}}}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)^{2}

Просуммировав принуждения для всех точек системы, получим:

Z\;=\;\frac{1}{2}\;\overset{}{\overset{N}{\underset{i=1}{\sum}}}\,m_{i}\left(\overset{\cdot\cdot}{\mathbf{r_{i}}}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)^{2}

Из приведённого в начале статьи определения следует, что для ускорений в действительном движении

\delta\,Z\;=\;0

причем вариация берётся только по ускорениям, а координаты и скорости полагаются неизменными. Вариацию такого рода называют гауссовой вариацией.

Значение принципа Гаусса[править | править исходный текст]

Одним из первых высоко оценил значение принципа наименьшего принуждения Гаусса выдающийся русский математик и механик М. В. Остроградский, который придавал особенно большое значение подходу Гаусса к пониманию связей. В своём мемуаре 1836 г. «О мгновенных перемещениях системы, подчинённой переменным условиям» Остроградский указывал такое следствие из принципа Гаусса: давление на связи со стороны точек системы в истинном движении системы должно быть минимальным по сравнению с другими кинематически осуществимыми движениями[6]. В 1878 г. И. И. Рахманинов придал[7] принципу Гаусса энергетическую трактовку, переформулировав его как принцип наименьшей потерянной работы[8].

Французский математик Ж. Бертран охарактеризовал принцип Гаусса как «красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-видимому, наиболее общим и изящным выражением, какое только им было придано»[9].

Принцип наименьшего принуждения обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, к голономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется[10] в качестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономных систем. Вместе с тем принцип Гаусса используют и непосредственно — в задачах, связанных с компьютерным моделированием динамики систем твёрдых тел (в частности, манипуляционных роботов); при этом выполняется численная минимизация принуждения методами математического программирования[11].

Принцип Гаусса обобщён[12] на случай освобождения системы от части связей[13][14], а также на случай систем, стеснённых неидеальными связями, и на случай сплошных сред[15].

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Тюлина, 1979, с. 178
  2. Гаусс К.  Об одном новом общем принципе механики (Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik // Journal für Reine und Angewandte Mathematik. 1829. Bd. IV. — S. 232—235.) // Вариационные принципы механики: Сб. статей / Под ред. Л. С. Полака. — М.: Физматгиз, 1959. — 932 с. — С. 170—172.
  3. Моисеев, 1961, с. 334
  4. Тюлина, 1979, с. 179—180
  5. Маркеев, 1990, с. 90
  6. Моисеев, 1961, с. 336
  7. Рахманинов И. И.  Начало наименьшей потерянной работы как общее начало механики // Изв. Киевского ун-та. 1878. № 4. — С. 1—20.
  8. Маркеев, 2000, с. 38—39
  9. Погребысский, 1964, с. 270
  10. Голубев Ю. Ф.  Основы теоретической механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. — С. 427. — ISBN 5-211-04244-1.
  11. Верещагин А. Ф.  Принцип Гаусса наименьшего принуждения в динамике исполнительных механизмов роботов // Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л.  Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. — М.: Наука, 1978. — 400 с. — С. 77—102.
  12. Маркеев, 2000, с. 43
  13. Болотов Е. А.  О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 2. 1916. Т. 21. № 3. — С. 99—152.
  14. Четаев Н. Г.  О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 3. 1932—1933. Т. 6. — С. 68—71.
  15. Румянцев В. В.  О некоторых вариационных принципах в механике сплошных сред // Прикл. матем. и мех. 1973. Т. 37. Вып. 6. — С. 963—973.

Литература[править | править исходный текст]

  • Вариационные принципы механики: Сб. статей / Под ред. Л. С. Полака. — М.: Физматгиз, 1959. — 932 с.
  • Ланцош К.  Вариационные принципы механики. — М.: Мир, 1965. — 408 с.
  • Маркеев А. П.  О принципе Гаусса // Сборник научно-методических статей. Теоретическая механика. Вып. 23. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 264 с. — С. 29—45.
  • Маркеев А. П.  Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990. — 416 с. — ISBN 5-02-014016-3.
  • Моисеев Н. Д.  Очерки истории развития механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1961. — 478 с.
  • Погребысский И. Б.  От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая механика XIX века. — М.: Наука, 1964. — 327 с.
  • Тюлина И. А.  История и методология механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. — 282 с.
  • Цыганова Н. Я.  Основные этапы развития принципа наименьшего принуждения // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1979. — В. 9. — С. 122—134.