Принцип соответствия границ

Принцип соответствия границ или теорема Каратеодори

Если $f$ конформно отображает область $G$ на область $G'$ и границы областей жордановы, то $f$ можно продолжить до гомеоморфизма $\overline{f}:\overline{G}\to\overline{G'}$.

Замечания

• В общем случае области с произвольной границей утверждение теоремы неверно.

Вариации и обобщения

• Теорема Шварца о соответствии границ:

  Если $f$ конформно отображает область $G$ на область $G'$, притом кривые $\partial G$ и $\partial G'$ являются аналитическими, то её можно продолжить до конформного отображения $\overline{f}:\overline{G}\to\overline{G'}$.

  • Это не есть усиление теоремы Каратеодори, поскольку существуют непрерывные, но не аналитические границы.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.