Приподнятый косинус (фильтр)

Фильтр с характеристикой типа «приподнятый косинус» (ФПК) — особый электронный фильтр, часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения (МСИ). Его название происходит из факта, что ненулевая часть частотного спектра его простейшей формы ($\beta = 1$) представляет собой косинусоиду, приподнятую таким образом, чтобы она «сидела» на горизонтальной оси $f$.

Математическое описание

ФПК является реализацией ФНЧ Найквиста, то есть обладает свойством частичной симметрии. Это значит, что его спектр облатает нечетной симметрией относительно $\frac{1}{2T}$, где $T$ длительность символа в системе связи.

Для его описания в частотной области используется кусочная функция, заданная формулой:

$H(f) = \begin{cases} 1.0, & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\ \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right], & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$

$0 \leq \beta \leq 1$

и характеризуется двумя величинами; $\beta$ — коэффициент сглаживания, и $T$ — величина обратная символьной скорости.

Импульсный отклик фильтра описывается формулой:

$h(t) = \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \frac{4\beta^2 t^2}{T^2}}$, в выражении через нормализованные sinc функции.

АЧХ ФПК при различных коэффициентах сглаживания

Импульсный отклик ФПК при различных коэффициентах сглаживания

Коэффициент сглаживания

Коэффициент сглаживания $\beta$ — мера избыточности полосы пропускания фильтра, то есть полоса частот вне полосы Найквиста $\frac{1}{2T}$. Если обозначить избыточность полосы через $\Delta f$, то:

$\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\Delta f$

где $R_S = \frac{1}{T}$ — символьная скорость.

На графике показана АЧХ при изменении $\beta$ от 0 до 1, и соответствующее воздействие на импульсный отклик. Как видно, во временной области величина пульсаций увеличивается по мере уменьшения $\beta$. Это свидетельствует о том, что избыточность полосы фильтра может быть уменьшена, но только за счет удлинения импульсного отклика.

$\beta = 0$

Как только $\beta$ достигает 0, зона сглаживания становится максимально узкой, следовательно:

$\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \mathrm{rect}(fT)$

где $\mathrm{rect}(.)$ — прямоугольная функция, импульсный отклик преобразуется к $\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)$.

Следовательно, он стремится к идеальному или прямоугольному фильтру в этом случае.

$\beta = 1$

Когда $\beta = 1$, ненулевая часть спектра представляет собой чистую приподнятую косинусоиду, что ведет к упрощению:

$H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix} \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right], & |f| \leq \frac{1}{T} \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{matrix} \right.$

Полоса пропускания

Ширина полосы пропускания ФПК обычно определяется как ширина ненулевой части спектра, то есть:

$BW = \frac{1}{2}R_S(1+\beta)$

Применения

Когда используется для фильтрации символьного потока, фильтр Найквиста имеет свойство устранения МСИ, так как его импульсный отклик равен 0 во всех $nT$ (где $n$ — целое), кроме $n = 0$.

Таким образом, если переданный сигнал корректно дискретизирован в приёмнике, исходные значения символов могут быть восстановлены полностью.

Однако, в большинстве практических систем связи, в приёмнике должен быть использован согласованный фильтр, это обусловлено воздействием белого шума. Это вводит следующие ограничения:

$H_R(f) = H_T^*(f)$

то есть:

$|H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|}$

Для удовлетворения этого условия и сохраняя условие отсутствия МСИ, обычно применяется корень из ФПК на каждом из концов системы связи. В таком случае, общий отклик системы представляет собой приподнятый косинус.

Литература

• Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
• Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.

Ссылки

• Передача цифрового сигнала по узкополосным каналам. Межсимвольная интерференция и формирующие фильтры Найквиста