Приподнятый косинус (фильтр)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фильтр с характеристикой типа «приподнятый косинус» (ФПК) — особый электронный фильтр, часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения (МСИ). Его название происходит из факта, что ненулевая часть частотного спектра его простейшей формы (\beta = 1) представляет собой косинусоиду, приподнятую таким образом, чтобы она «сидела» на горизонтальной оси f.

Математическое описание[править | править вики-текст]

ФПК является реализацией ФНЧ Найквиста, то есть обладает свойством частичной симметрии. Это значит, что его спектр облатает нечетной симметрией относительно \frac{1}{2T}, где T длительность символа в системе связи.

Для его описания в частотной области используется кусочная функция, заданная формулой:

H(f) = \begin{cases}
 1.0,
       & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
 \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right],
       & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\
 0,
       & \mbox{otherwise}
\end{cases}
0 \leq \beta \leq 1

и характеризуется двумя величинами; \beta — коэффициент сглаживания, и T — величина обратная символьной скорости.

Импульсный отклик фильтра описывается формулой:

h(t) = \mathrm{sinc}\left(\frac{\pi t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \frac{4\beta^2 t^2}{T^2}}, в выражении через нормализованные sinc функции.
АЧХ ФПК при различных коэффициентах сглаживания
Импульсный отклик ФПК при различных коэффициентах сглаживания

Коэффициент сглаживания[править | править вики-текст]

Коэффициент сглаживания \beta — мера избыточности полосы пропускания фильтра, то есть полоса частот вне полосы Найквиста \frac{1}{2T}. Если обозначить избыточность полосы через \Delta f, то:

\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\Delta f

где R_S = \frac{1}{T} — символьная скорость.

На графике показана АЧХ при изменении \beta от 0 до 1, и соответствующее воздействие на импульсный отклик. Как видно, во временной области величина пульсаций увеличивается по мере уменьшения \beta. Это свидетельствует о том, что избыточность полосы фильтра может быть уменьшена, но только за счет удлинения импульсного отклика.

\beta = 0[править | править вики-текст]

Как только \beta достигает 0, зона сглаживания становится максимально узкой, следовательно:

\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \mathrm{rect}(fT)

где \mathrm{rect}(.) — прямоугольная функция, импульсный отклик преобразуется к \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right).

Следовательно, он стремится к идеальному или прямоугольному фильтру в этом случае.

\beta = 1[править | править вики-текст]

Когда \beta = 1, ненулевая часть спектра представляет собой чистую приподнятую косинусоиду, что ведет к упрощению:

H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
 \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right],
       & |f| \leq \frac{1}{T} \\
 0,
       & \mbox{otherwise}
\end{matrix} \right.

Полоса пропускания[править | править вики-текст]

Ширина полосы пропускания ФПК обычно определяется как ширина ненулевой части спектра, то есть:

BW = \frac{1}{2}R_S(1+\beta)

Применения[править | править вики-текст]

Когда используется для фильтрации символьного потока, фильтр Найквиста имеет свойство устранения МСИ, так как его импульсный отклик равен 0 во всех nT (где n — целое), кроме n = 0.

Таким образом, если переданный сигнал корректно дискретизирован в приёмнике, исходные значения символов могут быть восстановлены полностью.

Однако, в большинстве практических систем связи, в приёмнике должен быть использован согласованный фильтр, это обусловлено воздействием белого шума. Это вводит следующие ограничения:

H_R(f) = H_T^*(f)

то есть:

|H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|}

Для удовлетворения этого условия и сохраняя условие отсутствия МСИ, обычно применяется корень из ФПК на каждом из концов системы связи. В таком случае, общий отклик системы представляет собой приподнятый косинус.

Литература[править | править вики-текст]

  • Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
  • Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.

Ссылки[править | править вики-текст]