Присоединённое представление алгебры Ли

Присоединённое представление алгебры Ли $\mathfrak g$ называется линейное представление $\operatorname{ad}$ алгебры $\mathfrak g$ в модуле $\mathfrak g$ , действующее по формуле

$\operatorname{ad}_xy = [x, y],\ \ x,y\in\mathfrak g,$

где $[ \cdot,\cdot ]$ ― операция в алгебре $\mathfrak g$ .

[править] Свойства

Ядро $\ker\operatorname{ad}$ есть центр алгебры Ли $\mathfrak g$ .
Присоединённые операторы $\operatorname{ad}_x$ являются дифференцированиями алгебры $\mathfrak g$ и называются внутренними дифференцированиями.
Образ , называется присоединённой алгеброй и является идеалом в алгебре Ли всех дифференцирований алгебры , причём есть пространство 1-мерных когомологий алгебры Ли , определяемых присоединённым представлением.
- В частности, $\operatorname{Der}\,\mathfrak g=\operatorname{ad}\,\mathfrak g$ , если $\mathfrak g$ ― полупростая алгебра Ли над полем характеристики 0.