Присоединённое представление группы Ли

Присоединённое представление группы Ли $G$ — линейное представление $\operatorname{Ad}$ группы $G$ в касательном пространстве $T_eG$ (или в алгебре Ли $\mathfrak g$ группы $G$), сопоставляющее каждому элементу $a\in G$ дифференциал

$\operatorname{Ad}_a=d(\operatorname{lnt}_a)_e$

внутреннего автоморфизма

$\operatorname{Int}_a: x\mapsto axa^{-1}.$

Если $G\subset GL(V)$ — линейная группа в пространстве $V$, то

$\operatorname{Ad}_aX=aXa^{-1},$

Дифференциалом присоединённого представления группы $G$ в единице служит присоединённое представление её алгебры Ли.

Связанные определения

• Образом группы Ли $G$ при присоединённом представлении называется присоединённая группа группы $G$ и обозначается $\operatorname{Ad}G$.

Свойства

• Ядро $\operatorname{Ker} \operatorname{Ad}$ содержит центр группы $G$.
  • Более того, в случае, когда $G$ связна и основное поле имеет характеристику $0$, совпадает с центром.
• Связная полупростая группа Ли изоморфна своей присоединённой группе тогда и только тогда, когда её корни порождают группу рациональных характеров максимального тора; центр такой группы тривиален.
• Если основное поле имеет характеристику 0 и $G$ связна, то $\operatorname{Ad}G$ однозначно определяется алгеброй Ли $\mathfrak g$ и называется иногда присоединённой группой, или группой внутренних автоморфизмов, алгебры Ли $\mathfrak g$.
  • В частности, если $G$ полупроста, то $\operatorname{Ad}G$ совпадает со связной компонентой единицы в $\operatorname{Aut}\mathfrak g$.