Присоединённое представление группы Ли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Присоединённое представление группы Ли G — линейное представление \operatorname{Ad} группы G в касательном пространстве T_eG (или в алгебре Ли \mathfrak g группы G), сопоставляющее каждому элементу a\in G дифференциал

\operatorname{Ad}_a=d(\operatorname{lnt}_a)_e

внутреннего автоморфизма

\operatorname{Int}_a: x\mapsto axa^{-1}.

Если G\subset GL(V) — линейная группа в пространстве V, то

\operatorname{Ad}_aX=aXa^{-1},

Дифференциалом присоединённого представления группы G в единице служит присоединённое представление её алгебры Ли.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Образом группы Ли G при присоединённом представлении называется присоединённая группа группы G и обозначается \operatorname{Ad}G.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Ядро \operatorname{Ker} \operatorname{Ad} содержит центр группы G.
  • Связная полупростая группа Ли изоморфна своей присоединённой группе тогда и только тогда, когда её корни порождают группу рациональных характеров максимального тора; центр такой группы тривиален.
  • Если основное поле имеет характеристику 0 и G связна, то \operatorname{Ad}G однозначно определяется алгеброй Ли \mathfrak g и называется иногда присоединённой группой, или группой внутренних автоморфизмов, алгебры Ли \mathfrak g.
    • В частности, если G полупроста, то \operatorname{Ad}G совпадает со связной компонентой единицы в \operatorname{Aut}\mathfrak g.