Проблема Бёрнсайда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проблема Бёрнсайда — серия задач в теории групп вокруг вопроса о возможности определить конечность группы исходя лишь из свойств её элементов: должна ли быть конечно порождённая группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, обязательно конечной.

Сформулирована Бёрнсайдом в 1902 году. Считается одной из ключевых проблем теории групп.

История[править | править вики-текст]

Первоначальные усилия были направлены в сторону положительного решения проблемы, так как все известные частные случаи давали позитивный ответ. Например, если группа порождена m элементами и порядок каждого её элемента является делителем числа 4, она конечна. Более того, в 1959 году Кострикин (в случае простой экспоненты)[1] и в 1980-х годах Зельманов (в случае примарной экспоненты) доказали, что среди конечных групп с данным количеством генераторов и экспонент, существует наибольшая. Из классификации конечных простых групп и результатов Кострикина — Зельманова следует существование наибольшей конечной группы среди всех конечных групп с данным числом порождающих и данной экспонентой.

Тем не менее, общий ответ на проблему Бёрнсайда оказался отрицательным. В 1964 году Голод и Шафаревич построили бесконечную группу типа Бёрнсайда, не предполагая, что каждый элемент имеет равномерно ограниченный порядок. В 1968 году Новиков и Адян предложили отрицательное решение проблемы с ограниченной экспонентой для всех нечётных экспонент больше 4381. В 1982 году Ольшанский нашёл несколько контрпримеров для достаточно больших нечётных экспонент (более 10^{10}) и предоставил более понятное доказательство, основанное на геометрических идеях.

Случай чётной экспоненты оказался более сложным. В 1992 году Иванов анонсировал отрицательное решение для достаточно больших чётных экспонент, делящихся на большие степени числа 2 (детальное доказательство было опубликовано в 1994 году и заняло около 300 страниц). Позже в совместной работе Ольшанский и Иванов дали отрицательное решение для аналога проблемы Бёрнсайда для случая гиперболических групп, при условии достаточно большой экспоненты.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кострикин, А. И. Известия АН СССР // Серия математическая. — 1959. — т. 23. — № 1. — с. 3—34.

Литература[править | править вики-текст]

  • Кострикин, А. И. Вокруг Бёрнсайда. — М.: Наука, 1986. — 232 с.
  • Ольшанский, А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. — М.: Наука, 1989. — 446 с.