Проблема Варинга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проблема Варинга — теоретико-числовое утверждение, согласно которому для каждого целого n>1 существует такое число k=k(n), что всякое натуральное число N может быть представлено в виде:

x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N\quad

с целыми неотрицательными x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k.

Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Уорингом (Варингом)[1], доказана Гильбертом в 1909 году. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня[2].

Основные результаты[править | править вики-текст]

До ХХ века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено k=4 для проблемы в случае n=2.

Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом[3], оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд, разработав для этого специальный круговой метод[4]. Они ввели две функции — g(n) и G(n); g(n) — наименьшее k такое, что проблема Варинга разрешима при N\geqslant 1; G(n) — наименьшее k такое, что проблема Варинга разрешима при N\geqslant N_0(n). (Ясно, что G(n)\leqslant g(n).) Харди и Литтлвуд дали для G(n) оценку снизу n<G(n), которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.

Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Линник в 1942 году нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов[5].

Функция g(n) известна. Для более фундаментальной функции G(n) получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых n .

Функция g(n)[править | править вики-текст]

Иоганн Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 года[6], что:

g(n)=2^n+[(3/2)^n]-2.

В 1940-е годы Диксон (англ. Leonard Eugene Dickson), Пиллай (англ. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai), Рубугундай (англ. R. K. Rubugunday) и Нивен (англ. Ivan M. Niven)[7] с учётом результата Малера (нем. Kurt Mahler)[8] доказали, что это верно за исключением конечного числа значений n, превышающих 471 600 000. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Несколько первых значений g(n):

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …[9]

Примечательно, что, например, для n=3 только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.

Функция G(n)[править | править вики-текст]

В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм[10], это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для G(n). После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:

G(n)<2n\log n+4n\log\log n+2n\log\log\log n+13n.

Применяя сконструированную им p-адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил[11] эту оценку. При n\geqslant 400:

G(n)<2n\log n+2n\log\log n+12n.

В дальнейшем оценку улучшил Вули, сначала в работе 1992 года[12], затем — в 1995 году[13]:

G(n)\leqslant n\log n+n\log\log n+2+O(\log\log n/\log n).

Вон (англ. Bob Vaughan) и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью[14], в которой результат Карацубы относят к публикации Вона 1989 года[15].

Границы[14]
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Фактически величина G(n) известна только для 2 значений аргумента, именно G(2)=4 и G(4)=16, этот результат доказал в 1930-е годы Дэвенпорт (англ. Harold Davenport)[16].

То, что G(3)\leqslant 7, доказал[5] Линник. Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4[17], наибольшее известное число, не представимое суммой 4 кубов, это 7 373 170 279 850[18]. Также на основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что G(5)<G(4).

Помимо точных значений G(n) открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми» [19].

Обобщения[править | править вики-текст]

Проблема Варинга — Гольдбаха[править | править вики-текст]

Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.

Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху O(n^2\log n)[20].

На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков[21], однако в единственной статье 2009 года[22] даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха[23].

Точность представления целого числа суммой степеней[править | править вики-текст]

Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной 2.

Все натуральные числа, за исключением чисел вида 4^m(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots, представимы в виде x^2+y^2+z^2. Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу N можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как (n+1)^2-n^2=2n+1 и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из n^2, то одним квадратом можно подойти к N на расстояние порядка N^{1/2}. Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к N на расстояние порядка N^{1/4}. А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что

\min_{x,\;y\in Z}|N-x^2-y^2|\leqslant N^\varepsilon,

где \varepsilon>0,\;\varepsilon — любое, N\geqslant N_1(\varepsilon). Заменить 1/4 в предыдущем рассуждении на 1/4-c со сколь угодно малым фиксированным c>0, не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века[24].

Многомерный аналог проблемы Варинга[править | править вики-текст]

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил[25][26] двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:

x_1^{n-i}y_1^i+\ldots+x_k^{n-i}y_k^i=N_i,\quad i=0,\;1,\;\ldots,\;n,

где N_i — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, N_0\to+\infty, а x_{\varkappa},\;y_{\varkappa} — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если k>cn^2\log n, а если k<c_1n^2, то существуют такие N_i, что система не имеет решений.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.
  2. 11P05 Waring’s problem and variants] // Mathematical Subject Classification, 2010
  3. Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67, pages 281—300 (1909)
  4. Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.
  5. 1 2 Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.
  6. Л. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862)
  7. Niven, Ivan M. (1944). «An unsolved case of the Waring problem». American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 66 (1): 137–143. DOI:10.2307/2371901.
  8. (1957) «On the fractional parts of the powers of a rational number II». Mathematika 4: 122—124.
  9. последовательность A002804 в OEIS
  10. Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.
  11. Карацуба, А. А. (1985). «О функции G(n) в проблеме Варинга». Изв. РАН. Сер. матем. (49:5): 935—947.
  12. Wooley T. D. Large improvements in Waring’s problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.
  13. Wooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.
  14. 1 2 Vaughan R. C., Wooley T. D. Waring's Problem: A Survey Number Theory for the Millennium. — A. K. Peters, 2002. — Vol. III. — P. 301–340. — ISBN 978-1-56881-152-9.
  15. Vaughan R. C. A new iterative method in Waring’s problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.
  16. Davenport H. // Ann. of Math., 1939, № 40, p. 731—747
  17. Nathanson (1996), p. 71
  18. (2000) «7373170279850». Mathematics of Computation 69 (229): 421–439. DOI:10.1090/S0025-5718-99-01116-3.
  19. Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми. — Диссертация … кандидата физико-математических наук.
  20. Hua Lo Keng Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.
  21. И. О. декана механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, профессор Владимир Николаевич Чубариков
  22. Чубариков В. Н. К проблеме Варинга — Гольдбаха // Доклады Академии наук. — 2009. Т. 427, № 1, с. 24—27
  23. Рецензия: Zbl 1220.11128
  24. Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11, с.22
  25. Архипов Г. И., Карацуба А. А. (1987). «Многомерный аналог проблемы Варинга». Докл. АН СССР (295:3): 521—523.
  26. Karatsuba A. A. (1988). «Waring's problem in several dimension». Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht (42): 5–6.

Литература[править | править вики-текст]