Проблема остановки

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории алгоритмов проблема остановки (или проблема останова) — это проблема, которая может неформально быть поставлена в виде:

Даны описание процедуры и ее начальные входные данные, требуется определить, завершится ли когда-либо выполнение процедуры с этими данными. Альтернативой этому является то, что она работает всё время без остановки.

Алан Тьюринг доказал в 1936 году, что проблема остановки неразрешима на машине Тьюринга. Другими словами, не существует общего алгоритма решения этой проблемы.

Проблема остановки занимает центральное место в теории вычислимости, поскольку представляет собой первый пример задачи, которую невозможно решить алгоритмическим путем. Для многих других задач можно доказать их алгоритмическую неразрешимость, попытавшись свести задачу к проблеме остановки. Это делается по следующей схеме: пусть есть некая задача, для которой требуется установить ее неразрешимость. Тогда предположим, что она разрешима, и попытаемся, используя этот факт, написать алгоритм решения проблемы остановки. Если это удастся, то мы придем к противоречию, ведь известно, что не существует такого алгоритма. А значит, предположение было неверным и исходная задача также неразрешима.

Набросок доказательства[править | править вики-текст]

Рассмотрим множество S алгоритмов, которые принимают на вход натуральное число и на выходе тоже выдают натуральное число. Выберем какой-нибудь полный по Тьюрингу язык программирования. Каждый алгоритм можно записать в виде конечной последовательности символов на этом языке. Упорядочим множество S лексикографически (в словарном порядке), при этом каждый алгоритм получит свой порядковый номер. Назовем Анализатором гипотетический алгоритм, который получает на вход пару натуральных чисел (N, X), и:

  • останавливается и возвращает 1, если алгоритм с номером N не останавливается, получив на вход X
  • не останавливается в противном случае (если алгоритм с номером N останавливается, получив на вход X).

Проблему остановки можно переформулировать следующим образом: существует ли Анализатор?

Теорема. Анализатор не существует.

Докажем это от противного. Допустим, Анализатор существует. Напишем алгоритм Диагонализатор, который принимает на вход число N, передает пару аргументов (N, N) Анализатору и возвращает результат его работы. Другими словами, Диагонализатор останавливается в том и только том случае, если не останавливается алгоритм с номером N, получив на вход число N. Пусть K — это порядковый номер Диагонализатора в множестве S. Запустим Диагонализатор, передав ему это число K. Диагонализатор остановится в том и только том случае, если алгоритм с номером K (то есть, он сам) не останавливается, получив на вход число K (какое мы ему и передали). Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно: Анализатор не существует, что и требовалось доказать.

См. также[править | править вики-текст]

  • Граф потока управления может быть использован для быстрой категоризации, когда программа не имеет циклов (и поэтому останавливается), имеет тривиальные циклы (и поэтому останавливается), имеет нетривиальные циклы (неразрешимо) или входит в бесконечный цикл.

Ссылки[править | править вики-текст]