Проблема якобиана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проблема якобиана - проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.

Условия[править | править вики-текст]

Рассмотрим набор полиномов f_1, f_2, f_3, ... f_N \in C[X_1, X_2, ..., X_N] (1) (принадлежащих множеству всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных X_1, X_2, ..., X_N). Предположим, что система уравнений f_1=b_1, f_2=b_2, ..., f_N=b_N имеет единственное решение (a_1, a_2, ..., a_N) \in C^N для любого набора (b_1, b_2, ..., b_N) \in C^N (принадлежащего множеству комплексных чисел), причём существуют такие многочлены g_1, g_2, g_3, ... g_N \in C[X_1, X_2, ..., X_N], что каждое a_i=g_i(b_1, b_2, ..., b_N). Предполагается, что многочлены g_1, g_2, g_3, ... g_N не зависят от набора свободных членов (b_1, b_2, ..., b_N) \in C^N. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из C[X_1, X_2, ..., X_N] однозначно представляется в виде многочлена от f_1, f_2, f_3, ... f_N (и от g_1, g_2, g_3, ... g_N). Система (1) задаёт полиномиальное отображение f: C^N \rightarrow C^N, при котором f(a_1, ..., a_N)=(f_1(a_1, ..., a_N), f_2(a_1, ..., a_N), ..., 
f_N(a_1, ..., a_N))=(b_1, b_2, ..., b_N) \in C^N (2). Отображение f является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение f^{-1}, переводящее (b_1, b_2, ..., b_N) \in C^N в f^{-1}(b_1, ..., b_N)=(g_1(b_1, ..., b_N), g_2(b_1, ..., b_N), ..., g_N(b_1, ..., b_N))=(a_1, a_2, ..., a_N) \in C^N также является полиномиальным. Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения f) J(f) размера N, в которой на месте (i, j) стоит частная производная \partial f_i / \partial X_J. Зададим другое полиномиальное отображение h: C^N \rightarrow C^N и fh - их композиция (произведение). J(fh)=J(f)J(h). Вычисляя определители, получаем, что det(J( fh))=det(J(f)) det (J(h)). В частности, если заданы полиномиальные отображения f и f ^{-1}, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица E=J(fh)=J(f )J(h), и, следовательно, det(J(f)) является ненулевой константой.

Формулировка[править | править вики-текст]

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение f вида (2), причем det(J(f)) является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из C[X_1, X_2, ..., X_N] в виде многочлена от f_1,f_2, ...,f_n?

Результаты[править | править вики-текст]

Достаточно решить проблему якобиана в случае, когда N = 2 и степени f_1, f_2 не выше 150, а также если n любое, но степени всех многочленов f_1, f_2 , ..., f_N не выше 2.[1] Кроме того, за счет увеличения числа переменных можно считать, что каждое  f_i является многочленом степени не выше 3[1].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Bass H., Connell E.H., Wright D. The Jacobian Conjecture // Bull. Amer. Math. Soc., 1982, vol. 7, № 2, с. 287-330.

Литература[править | править вики-текст]

  1. В.А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110 - 113;