Проблема якобиана

Проблема якобиана - проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.

Условия

Рассмотрим набор полиномов $f_1, f_2, f_3, ... f_N \in C[X_1, X_2, ..., X_N]$ (1) (принадлежащих множеству всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных $X_1, X_2, ..., X_N$). Предположим, что система уравнений $f_1=b_1, f_2=b_2, ..., f_N=b_N$ имеет единственное решение $(a_1, a_2, ..., a_N) \in C^N$ для любого набора $(b_1, b_2, ..., b_N) \in C^N$ (принадлежащего множеству комплексных чисел), причём существуют такие многочлены $g_1, g_2, g_3, ... g_N \in C[X_1, X_2, ..., X_N]$, что каждое $a_i=g_i(b_1, b_2, ..., b_N)$. Предполагается, что многочлены $g_1, g_2, g_3, ... g_N$ не зависят от набора свободных членов $(b_1, b_2, ..., b_N) \in C^N$. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из $C[X_1, X_2, ..., X_N]$ однозначно представляется в виде многочлена от $f_1, f_2, f_3, ... f_N$ (и от $g_1, g_2, g_3, ... g_N$). Система (1) задаёт полиномиальное отображение $f: C^N \rightarrow C^N$, при котором $f(a_1, ..., a_N)=(f_1(a_1, ..., a_N), f_2(a_1, ..., a_N), ..., f_N(a_1, ..., a_N))=(b_1, b_2, ..., b_N) \in C^N$ (2). Отображение $f$ является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение $f^{-1}$, переводящее $(b_1, b_2, ..., b_N) \in C^N$ в $f^{-1}(b_1, ..., b_N)=(g_1(b_1, ..., b_N), g_2(b_1, ..., b_N), ..., g_N(b_1, ..., b_N))=(a_1, a_2, ..., a_N) \in C^N$ также является полиномиальным. Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения $f$) $J(f)$ размера $N$, в которой на месте $(i, j)$ стоит частная производная $\partial f_i / \partial X_J$. Зададим другое полиномиальное отображение $h: C^N \rightarrow C^N$ и $fh$ - их композиция (произведение). $J(fh)=J(f)J(h)$. Вычисляя определители, получаем, что $det(J( fh))=det(J(f)) det (J(h))$. В частности, если заданы полиномиальные отображения $f$ и $f ^{-1}$, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица $E=J(fh)=J(f )J(h)$, и, следовательно, $det(J(f))$ является ненулевой константой.

Формулировка

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение $f$ вида (2), причем $det(J(f))$ является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из $C[X_1, X_2, ..., X_N]$ в виде многочлена от $f_1,f_2, ...,f_n$?

Результаты

Достаточно решить проблему якобиана в случае, когда $N = 2$ и степени $f_1, f_2$ не выше 150, а также если $n$ любое, но степени всех многочленов $f_1, f_2 , ..., f_N$ не выше 2. Кроме того, за счет увеличения числа переменных можно считать, что каждое $f_i$ является многочленом степени не выше 3.

Литература

1. В.А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110 - 113;