Проективная группа

Проективная группа от $n$ переменных над телом $K$ — группа $PGL_n(K)$ преобразований $(n-1)$-мерного проективного пространства $P_{n-1}(K)$, индуцированных невырожденными линейными преобразованиями пространства $K^n$. Имеется естественный эпиморфизм

$P:GL_n(K)\to PGL_n(K)$,

ядром которого служит группа гомотетий пространства $K^n$, изоморфная мультипликативной группе $Z^*$ центра $Z$ тела $K$. Элементы группы $PGL_n(K)$, называются проективными преобразованиями, являются коллинеациями пространства $P_{n-1}(K)$.

Свойства

• При $n\ge 2$ группа $PSL_n(K)$ проста, за исключением двух случаев: когда $n = 2$ и $|K| = 2$ или $3$.
• Если $K$ — конечное поле из $q$ элементов, то
      $|PSL_n(K)|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^n-1)(q^{n-1}-1)\cdots(q^2-1).$

Вариации и обобщения

Наряду с группой $PGL_n(K)$, называемой также полной проективной группой, рассматривают унимодулярную проективную группу $PSL_n(K)$ и вообще группы вида $P(G)$, где $G$ — некоторая линейная группа.

Литература

• Дьедонне Ж. Геометрия классических групп, пер. с франц., — М., 1974.