Проективный предел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект X по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов X_i и набору отображений f_{ij}:X_j\to X_i, i\leqslant j. Один из видов пределов в теории категорий.

Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:

X=\varprojlim X_i,
X=\projlim X_i.

Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.

Определение[править | править вики-текст]

Алгебраические структуры[править | править вики-текст]

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть I — направленное множество \leqslant (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу i\in I сопоставлена алгебраическая система X_i из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре (i,\;j), такой что i,\;j\in I, i\leqslant j, сопоставлен гомоморфизм f_{ij}:X_j\to X_i, причём f_{ii} — тождественные отображения для любого i\in I и f_{ik}= f_{ij}\circ f_{jk} для любых i\leqslant j\leqslant k из I. Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это фактормножество X прямого произведения X_i по транзитивному замыканию отношения эквивалентности, говорящего, что каждый элемент эквивалентен «меньшим» элементам:

\varprojlim X_i = \bigg\{(x_i)\in\prod_{i\in I}X_i\mid x_i=f_{ij}(x_j) \forall i\leqslant j\bigg\}.

Существуют канонические проекции \pi_i:X \to X_i, выбирающие i-ю компоненту прямого произведения для каждого i \in I. Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случай[править | править вики-текст]

InverseLimit-01.png

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть (X_i, f_{ij}) — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда X называется проективным пределом системы (X_i, f_{ij}), или X=\varprojlim X_i, если выполнены следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений \pi_i:X\to X_i, что \pi_i=f_{ij}\circ\pi_j для любых i\leqslant j;
  2. для любого семейства отображений \psi_i:Y\to X_i, произвольного множества Y, для которого выполнены равенства \psi_i=f_{ij}\circ\psi_j для любых i\leqslant j, существует единственное отображение u:Y\to X, что \psi_i=\pi_i\circ u, для всех i\in I.

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы (X_i, f_{ij}).

Примеры[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.