Проективный предел

Проективный (или обратный) предел — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики.

Эта конструкция позволяет построить новый объект $X$ по последовательности однотипных объектов $X_i$ и набору отображений $f_{ij}:X_j\to X_i$, $i\leqslant j$. Для проективного предела обычно используется обозначение

$X=\varprojlim X_i$, или $X=\projlim X_i$.

Определение

Пусть $I$ — множество, снабжённое отношением предпорядка $\leqslant$ (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу $i\in I$ сопоставлено множество $X_i$, а каждой паре $(i,\;j)$, $i,\;j\in I$, в которой $i\leqslant j$, сопоставлено отображение $f_{ij}:X_j\to X_i$, причём $f_{ii}$ — тождественные отображения для любого $i\in I$ и $f_{ik}= f_{ij}\circ f_{jk}$ для любых $i\leqslant j\leqslant k$ из $I$.

Множество $X$ называется проективным пределом семейства множеств $X_i$ и отображений $f_{ij}$, или $X=\varprojlim X_i$, если выполнены следующие условия:

1. существует такое семейство отображений $\pi_i:X\to X_i$, что $\pi_i=f_{ij}\circ\pi_j$ для любых $i\leqslant j$;
2. для любого семейства отображений $\psi_i:Y\to X_i$, произвольного множества $Y$, для которого выполнены равенства $\psi_i=f_{ij}\circ\psi_j$ для любых $i\leqslant j$, существует единственное отображение $u:Y\to X$, что $\psi_i=\pi_i\circ u$, для всех $i\in I$.

Конструктивно проективный предел можно описать как подмножество в прямом произведении $\prod_{i\in I}X_i$

$\varprojlim X_i = \bigg\{(x_i)\in\prod_{i\in I}X_i\mid x_i=f_{ij}(x_j) \forall i\leqslant j\bigg\}.$

Если все $X_i$ снабжены дополнительной однотипной структурой, которая переносится на $\prod_{i\in I}X_i$, то при естественных предположениях на отображения $\varphi_{i,\;j}:X_j\to X_i$, эта же структура индуцируется и в проективном пределе. Поэтому можно говорить о проективных пределах групп, модулей, топологических пространств и т. д.

Примеры

• Целые $p$-адические числа являются проективным пределом последовательности $\Z_{p^n}$ с естественными отображениями $\Z_{p^n}\to\Z_{p^m}$, при $n\geqslant m$.
• Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств с проекциями на первые координаты как отображения.

Вариации и обобщения

Естественным обобщением понятия проективного предела является понятие проективного предела функтора.