Проектор (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
На этом рисунке преобразование P является ортогональной проекцией на прямую m.

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор P, действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проекти́рования и проекцио́нным опера́тором) если P^2=P. Иногда проекционный оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор P:X\to X является проектором, если и только если существуют такие подпространства U и V пространства X, что X раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любого элемента u\in U имеем Pu=u, а для любого элемента v\in V имеем Pv=0. Подпространство U называется образом, а V — ядром проектора P.

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства V пространства X, вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с V.

Свойства проекционных операторов[править | править вики-текст]

Комбинации проекторов[править | править вики-текст]

Пусть P_1 и P_2 проекторы заданные на пространстве X и проектирующие на подпространства M_1 и M_2 соответственно. Тогда

  • P_1+P_2 — проектор на подпространстве M_1\oplus M_2, в том и только том случае, когда P_1 P_2=P_2 P_1=0.
  • P_1-P_2 является проектором тогда и только тогда, когда P_1 P_2=P_2 P_1=P_2. P_1-P_2 проектирует на подпространство M_1\cap(X\ominus M_2).
  • Если P_1P_2=P_2P_1=P, то P — проектор на подпространство M_1\cap M_2.

Примеры[править | править вики-текст]

 P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

Действует на точки она следующим образом:

 P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x \\ y \\  0 \end{pmatrix}
Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.
 P = \begin{bmatrix} 0 & 0  \\  \alpha & 1  \end{bmatrix}.

Легко показать, что это действительно проектор:

 P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0  \\  \alpha & 1  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0  \\  \alpha & 1  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0 & 0  \\  \alpha & 1  \end{bmatrix} = P.


Проекция, задаваемая P, ортогональна, если и только если  \alpha = 0 .

Ортогональный проектор[править | править вики-текст]

Если пространство Xгильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогональный проектор.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства U и V ортогональны друг другу, иными словами, когда \forall u\in U, \forall v\in V (u,v)=0, или u\cdot v =0, или u\perp v =0. В этом случае проекция элемента x\in X является ближайшим к нему элементом пространства U.

Литература[править | править вики-текст]