Произведение Кронекера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается \otimes. Результатом является блочная матрица.

Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.

Определение[править | править вики-текст]

Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq

A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.

В развёрнутом виде

\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
   a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
   a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
   a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} 
\end{bmatrix}.

Если A и B представляют собой линейные преобразования V1W1 и V2W2, соответственно, то AB представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1V2W1W2.

Пример[править | править вики-текст]


  \begin{bmatrix} 
    1 & 2 \\ 
    3 & 4 \\ 
  \end{bmatrix}
\otimes
  \begin{bmatrix} 
    0 & 5 \\ 
    6 & 7 \\ 
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix} 
    1\cdot 0 & 1\cdot 5 & 2\cdot 0 & 2\cdot 5 \\ 
    1\cdot 6 & 1\cdot 7 & 2\cdot 6 & 2\cdot 7 \\ 
    3\cdot 0 & 3\cdot 5 & 4\cdot 0 & 4\cdot 5 \\ 
    3\cdot 6 & 3\cdot 7 & 4\cdot 6 & 4\cdot 7 \\ 
  \end{bmatrix}

=
  \begin{bmatrix} 
    0 & 5 & 0 & 10 \\ 
    6 & 7 & 12 & 14 \\
    0 & 15 & 0 & 20 \\
    18 & 21 & 24 & 28
  \end{bmatrix}
.

Билинейность, ассоциативность и некоммутативность[править | править вики-текст]

 A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C,
 (A+B)\otimes C = A \otimes C + B \otimes C,
 (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),
 (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),
где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.
 A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.

Если A и B квадратные матрицы, тогда A \otimes B и B \otimes A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT.

Транспонирование[править | править вики-текст]

Операция транспонирования является дистрибутивной относительно произведения Кронекера

(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T.

Смешанное произведение[править | править вики-текст]

  • Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
 (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD.
  • A \otimes B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда
 (A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}.

Сумма и экспонента Кронекера[править | править вики-текст]

  • Если A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и I_k — единичная матрица размера k×k тогда можно определить сумму Кронекера \oplus как
 A \oplus B = A \otimes I_m + I_n \otimes B.
  • Также справедливо
 e^{A \oplus B} = e^A \otimes e^B.

Спектр, след и определитель[править | править вики-текст]

  • Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицы A и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A \otimes B являются
 \lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q.
 \operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr} (A) \, \operatorname{tr} (B),
 \det(A \otimes B) = (\det A)^q (\det B)^n.

Сингулярное разложение и ранг[править | править вики-текст]

 \sigma_{A,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_A.

Ненулевые сингулярные значения матрицы B:

 \sigma_{B,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_B.

Тогда произведение Кронекера A \otimes B имеет rArB ненулевых сингулярных значений

 \sigma_{A,i} \sigma_{B,j}, \qquad i=1,\ldots,r_A ,\, j=1,\ldots,r_B.
  • Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений, значений
 \operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank} (A) \, \operatorname{rank} (B).

История[править | править вики-текст]

Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.