Произведение мер

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Построение[править | править вики-текст]

Пусть (X_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mu_i),\;i=1,\;2 — два пространства с мерами. Тогда X_1\times X_2 — декартово произведение множеств X_1 и X_2.

\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2 является семейством подмножеств X_1\times X_2. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является \sigma-алгеброй. Введём обозначение

\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2=\sigma(\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2)

— минимальная \sigma-алгебра, содержащая \mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2. Тогда (X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2) — измеримое пространство. Определим на нём меру \mu_1\otimes\mu_2\colon\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2\to\R следующим образом:

\mu_1\otimes\mu_2(A)=\mu_1(A_1)\cdot\mu_2(A_2),\quad\forall A=A_1\times A_2\in\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2.

Тогда \mu_1\otimes\mu_2 продолжается единственным образом с \mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2 на \mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2:

\mu_1\otimes\mu_2(A)=\int\limits_{X_2}\mu_1(A_{x_2})\,\mu_2(dx_2),\quad A\in\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2

или

\mu_1\otimes\mu_2(A)=\int\limits_{X_1}\mu_2(A_{x_1})\,\mu_1(dx_1),

где

A_{x_2}=\{x_1\in X_1\mid(x_1,\;x_2)\in A)\} — сечение A вдоль x_2\in X_2, а
A_{x_1}=\{x_2\in X_2\mid(x_1,\;x_2)\in A)\} — сечение A вдоль x_1\in X_1.

Получившаяся мера \mu_1\otimes\mu_2 называется произведением мер \mu_1 и \mu_2. Пространство с мерой (X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mu_1\otimes\mu_2) называется (прямым) произведением исходных пространств.

Замечания[править | править вики-текст]

\mathbb{P}^{X,\;Y}=\mathbb{P}^X\otimes\mathbb{P}^Y.

Пример[править | править вики-текст]

Мера Лебега m_n на \R^n может быть получена как произведение n одномерных мер Лебега m_1 на \R:

\mathcal{B}(\R^n)=\bigotimes\limits_{i=1}^n\mathcal{B}(\R),

где \mathcal{B}(X) обозначает борелевскую \sigma-алгебру на пространстве X, и

m_n=\bigotimes\limits_{i=1}^n m_1.

См. также[править | править вики-текст]