Произведение мер

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Построение

Пусть $(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2$ — два пространства с мерами. Тогда $X_{1}\times X_{2}$ — декартово произведение множеств $X_{1}$ и $X_{2}$.

${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ является семейством подмножеств $X_{1}\times X_{2}$. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является $\sigma$-алгеброй. Введём обозначение

${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2})$

— минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$. Тогда $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})$ — измеримое пространство. Определим на нём меру $\mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R}$ следующим образом:

$\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.$

Тогда $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ продолжается единственным образом с ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ на ${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}$:

$\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}$

или

$\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\mu _{1}(dx_{1}),$

где

$A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}$ — сечение $A$ вдоль $x_{2}\in X_{2}$, а

$A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}$ — сечение $A$ вдоль $x_{1}\in X_{1}$.

Получившаяся мера $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ называется произведением мер $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$. Пространство с мерой $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})$ называется (прямым) произведением исходных пространств.

Замечания

• Если $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2$ — два вероятностных пространства, то $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})$ называется их произведением.
• Если $X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R}$ — случайные величины, то $\mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y}$ — распределения на $\mathbb {R}$ $X$ и $Y$ соответственно, а $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ — распределение на $\mathbb {R} ^{2}$ случайного вектора $(X,\;Y)^{\top }$. Если $X,\;Y$ — независимы, то

$\mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}.$

Пример

Мера Лебега $m_{n}$ на $\mathbb {R} ^{n}$ может быть получена как произведение $n$ одномерных мер Лебега $m_{1}$ на $\mathbb {R}$:

${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$

где ${\mathcal {B}}(X)$ обозначает борелевскую $\sigma$-алгебру на пространстве $X$, и

$m_{n}=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}m_{1}.$

См. также

• Теорема Тонелли — Фубини.