Производная обратной функции

Пусть $y=f(x)$ — функция от аргумента $x$ в некотором интервале $(a,b)$. Если в уравнении $y=f(x)$ $y$ считать аргументом, а $x$ — функцией, то возникает новая функция $x=\phi (y),$ где $f[\phi (y)]\equiv y,$ — функция, обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции $y(x)$ с производной $y'_{x}(x)$, отличной от нуля, производная $x'_{y}(y)$ обратной функции $x(y)$ равна обратной величине производной данной функции в точке $x(y)$, то есть

$x'_{y}(y)={\frac {1}{y'_{x}(x(y))}}$

Доказательство

Пусть $y=f(x)$ — дифференцируемая функция, $y'_{x}=f'(x)\neq 0$.
Пусть $\Delta y\neq 0$ — приращение независимой переменной $y$ и $\Delta x$ — соответствующее приращение обратной функции $x=\phi (y)$.

Напишем тождество

${\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Переходя в этом равенстве к пределу при $\Delta y\to 0$, которое влечет за собой стремление $\Delta x$ к нулю ($\Delta x\to 0$), получим:

$\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\Leftrightarrow x'_{y}={\frac {1}{y'_{x}}}$, где $x'_{y}$ — производная обратной функции.

Замечание

Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид

${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}$

Примеры

• $y=\arcsin {x}\Rightarrow x=\sin {y},$

$y'_{x}=(\arcsin {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(\sin {y})'}}={\frac {1}{\cos {y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{y}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{(\arcsin {x})}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

• $y=\ln {x}\Rightarrow x=e^{y},$

$y'_{x}=(\ln {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}.$

См. также

• Производная функции
• Таблица производных
• Дифференцирование сложной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Частная производная

Литература

• В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0