Производная обратной функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пусть ~y=f(x) - функция от аргумента x в некотором интервале ~(a,b). Если в уравнении ~y=f(x) y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция ~x=\phi(y), где ~f[\phi(y)]\equiv y - функция обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)[править | править вики-текст]

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

~y'_x=\frac{1}{x'_y}


Примеры[править | править вики-текст]

  • y=\arcsin {x} \Rightarrow x=\sin {y},
~y'_x=(\arcsin{x})'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{(\sin{y})'}=\frac{1}{\cos{y}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{y}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{(\arcsin {x})}}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
  • ~y=\ln {x} \Rightarrow x=e^y ,
~y'_x=(\ln{x})'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{(e^y)'}=\frac{1}{y' \cdot e^y}= [1] \frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. считаем здесь y независимой переменной

Литература[править | править вики-текст]

  • А. В. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0