Функция Кобба — Дугласа

Функция Кобба-Дугласа

Функция Кобба — Дугласа — производственная функция (или функция полезности), отражающая зависимость объёма производства $Q$ от создающих его факторов производства — затрат труда $L$ и капитала $K$.

Впервые была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путём определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объём выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Общий вид функции:

$Q=A\times L^{\alpha }\times K^{\beta }$,

где $A$ — технологический коэффициент, $\alpha \geqslant 0$ — коэффициент эластичности по труду, а $\beta \geqslant 0$ — коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени ($\alpha +\beta$) равна единице, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба — Дугласа, будет выпуклой и «гладкой».

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства:

$Q\sim L^{0.73}\times K^{0.27}$.

Обобщением функции Кобба — Дугласа является функция с постоянной эластичностью замещения факторов (CES-функция): $Q=A[\alpha L^{-\rho }+\beta K^{-\rho }]^{-{\frac {1}{\rho }}}$, для которой в пределе при $\rho \rightarrow 0$ получаем $Q=A\times L^{\alpha }\times K^{\beta }$.

Разногласия

Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических обоснований постоянства коэффициента $\lambda$ в разных секторах экономики. Например, рассмотрев функции для двух секторов экономики с одинаковыми технологическими коэффициентами:

$Q_{1}=A\times L_{1}^{\lambda }\times K_{1}^{1-\lambda }$,

$Q_{2}=A\times L_{2}^{\lambda }\times K_{2}^{1-\lambda }$,

в сумме не будет получаться ожидаемое:

$Q_{1}+Q_{2}=A\times (L_{1}+L_{2})^{\lambda }\times (K_{1}+K_{2})^{1-\lambda }$.

Равенство возможно лишь если:

${\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {K_{1}}{K_{2}}}$.

В целом, гипотезу, что $\alpha +\beta =1$, можно тестировать на конкретных эмпирических данных.

См. также

• Модель Солоу
• Функция Леонтьева

Литература

• Renshaw, Geoff. Maths for Economics (англ.). — New York: Oxford University Press, 2005. — P. 516—526. — ISBN 0-19-926746-4.