Простая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проста́я фу́нкция в математике — это измеримая функция, заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть (X,\mathcal{F}) — измеримое пространство. Пусть A_1,\ldots,A_n \in \mathcal{F}, где n \in \mathbb{N} — конечная последовательность измеримых множеств. Тогда измеримая функция f:X\to \mathbb{R}(\mathbb{C}) называется простой, если она имеет вид:

f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x), x\in X,

где a_i\in \mathbb{R} (\mathbb{C}), \mathbf{1}_{A_i}индикатор множества A_i, i = 1,\ldots,n.

Замечания[править | править вики-текст]

f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x), x\in X,

и \mu(A_i) < \infty, \forall i = 1,\ldots,n, то f интегрируема по Лебегу, и

\int\limits_X f\, d\mu = \sum\limits_{i=1}^n a_i\, \mu(A_i).

Пример[править | править вики-текст]

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m), где \mathcal{B}(\mathbb{R})борелевская сигма-алгебра на \mathbb{R}, а mмера Лебега. Тогда функция

 f(x) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x > 0\\
0, & x = 0\\
-1, & x < 0
\end{matrix}
\right., x\in \mathbb{R}

простая, ибо измерима и принимает три разных значения.