Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.
Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:
где функции 
и 
определены и непрерывны в некоторой области 
.
Содержание |
[править] Уравнения в полных дифференциалах
Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть 
, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах при условии, что 
.
Если 
в области 
, то интегральная кривая такого уравнения имеет вид 
, откуда общее решение 
определяется как неявная функция. Через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.
Если рассматриваемая область односвязна, а производные 
также непрерывны в , то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия
(признак уравнения в полных дифференциалах).
[править] Интегрирующий множитель
Непрерывная функция 
в называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение 
является уравнением в полных дифференциалах, то есть 
для некоторой функции 
. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.
Функция 
является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению
(область по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).
Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде 
или 
, но это не всегда возможно.
[править] Алгоритм решения
(1) 
(2) 
(3) 
Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:
(*) 
Подставим в (3).2:
В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: 
. Проинтегрируем по x и подставим в (*).
[править] Уравнения с разделяющимися переменными
Если в уравнении (1) 
, то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:
- Решения уравнения с разделяющимися переменными
- Решения уравнения
являются решениями (3). - Если область выбрана так, что
, то разделив на 
получим уравнение с разделёнными переменными
- Решения уравнения
Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку 
, имеет вид:
