Пространственная форма

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны $k$.

Пространственная форма называется сферической, евклидовой или гиперболической если соответственно $k>0$, $k=0$, $k<0$.

С помощью перенормировки метрики классификацию пространственных форм можно свести к трём случаям: $k=-1,0,+1$.

Примеры

• Евклидовы пространственные формы:
  • Евклидово пространство.
  • Плоский тор $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$, где $\Gamma$ — $n$-мерная решётка в $\mathbb {E} ^{n}$,.
  • Бутылка Клейна с плоской метрикой.
  • При $n=3$ имеется $6$ классов ориентируемых и $4$ класса неориентируемых аффинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм
  • Двумерная некомпактная евклидова пространственная форма, отличная от $\mathbb {E} ^{2}$, гомеоморфна цилиндру, либо листу Мёбиуса.
• Сферические пространственные формы:
  • Сфера $\mathbb {S} ^{n}$ в $\mathbb {E} ^{n+1}$ радиуса $r>0$ есть сферическая пространственная форма кривизны $k=1/r^{2}$.
  • Линзовое пространство с метрикой постоянной кривизны
  • Сфера Пуанкаре с метрикой постоянной кривизны
  • Вещественное проективное пространство с метрикой постоянной кривизны
• Гиперболические пространственные формы:
  • Пространство Лобачевского $\mathbb {H} ^{n}$.
  • Двумерную ориентированную компактную гипрболическую пространственную форму рода $m$ можно склеить из выпуклого $4m$-угольника в плоскости Лобачевского с попарно равными сторонами и суммой углов равной $2\pi$. Семейство неизоморфных компактных гиперболических пространственных форм размерности $2$ рода $m$ зависит от $6m-6$ вещественных параметров.
  • Примеры гиперболических пространственных форм приведены в.

Общие свойства

• При произвольном $n$ и $k$ существует единственная с точностью до изометрии $n$-мерная односвязная пространственная форма $M_{k}^{n}$ кривизны $k$. Если $k>0$ то это $n$-мерная сфера радиуса $1/{\sqrt {k}}$, при $k=0$ это евклидово пространство и при $k<0$ это $n$-мерное пространство Лобачевского.
  • Универсальное накрытие любой $n$-мерной пространственной формы кривизны $k$ с поднятой метрикой изометрично $M_{k}^{n}$.
  • Иначе говоря, любая $n$-мерная пространственная форма кривизны $k$ может быть получена из $M_{k}^{n}$ факторизацией по дискретной группе $\Gamma$ движений, действующих свободно (то есть без неподвижных точек); при этом два пространства $L=M_{k}^{n}/\Gamma$ и $L'=M_{k}^{n}/\Gamma '$ изометричны в том и только в том случае, когда $\Gamma$ и $\Gamma '$ сопряжены в группе всех движений $M_{k}^{n}$. Тем самым проблема классификации пространственных форм сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств $\mathbb {S} ^{n}$, $\mathbb {E} ^{n}$ и $\mathbb {H} ^{n}$, действующих дискретно и свободно.

Свойства сферических пространственных форм

Исчерпывающая классификация сферических пространственных форм получена в

• Если $n$ чётно, то единственным движением сферы $\mathbb {S} ^{n}$ без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Факторпространство $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=\mathbb {S} ^{n}/\Gamma$ по группе $\Gamma$, порожденное этим движением, есть вещественная проективная плоскость с метрикой постоянной кривизны (также называется пространство Римана или эллиптическое пространство). В частности
  • Любая сферическая пространственная форма чётной размерности $n$ изометрична либо $\mathbb {S} ^{n}$, либо $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$.
• Любая конечная циклическая группа может служить фундаментальной группой сферической пространственной формы (см. линзовое пространство).
• Чтобы нециклическая группа порядка $N$ могла служить фундаментальной группой $n$-мерной сферической пространственной формы, необходимо (но не достаточно), чтобы $N$ было взаимно просто с $n+1$ и делилось на квадрат какого-либо целого числа.

Свойства eвклидовых пространственных форм

Фундаментальные группы компактных eвклидовых пространственных форм являются частным случаем кристаллографических групп.

Теорема Бибербаха о кристаллографической группе приводит к структурной теории компактных евклидовых пространственных форм произвольной размерности:

• Для любого $n\geq 2$ существует только конечное число разных классов аффинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм размерности $n$.
• Две компактные евклидовы пространственные формы $M=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ и $M'=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma '$ аффинно эквивалентны, тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы $\Gamma$ и $\Gamma '$ изоморфны.
  • Например, любая двумерная компактная евклидова пространственная форма гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору, либо плоской бутылке Клейна.
• Абстрактная группа $\Gamma$ тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной eвклидовой пространственной формы $M^{n}$, когда
  1. $\Gamma$ имеет нормальную абелеву подгруппу $\Gamma ^{*}$ конечного индекса, изоморфную $\mathbb {Z} ^{n}$;
  2. $\Gamma ^{*}$ совпадает со своим централизатором в $\Gamma$;
  3. $\Gamma$ не имеет элементов конечного порядка.
  • Если такая группа $\Gamma$ реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства $\mathbb {E} ^{n}$, то $\Gamma ^{*}$ совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих $\Gamma$, и имеется нормальное накрытие пространства $M$ плоским тором $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma ^{*}$.
  • Конечная группа $\Gamma /\Gamma ^{*}$ изоморфна группе голономии пространства $M^{n}$.
• Компактная евклидова пространственная форма всегда имеет конечную группу голономии.
  • Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии которого конечна, является плоским.
• Любая конечная группа изоморфна группе голономии некоторой компактной евклидовой пространственной формы.
• Любая некомпактная евклидова пространственная форма допускает вещественноаналитическую ретракцию на компактное вполне геодезическое плоское подмногообразие (см. теорема о душе).
  • В частности класс фундаментальных групп некомпактных eвклидовых пространственных форм совпадает с классом фундаментальных групп компактных евклидовых пространственных форм.

Свойства гиперболических пространственных форм

• Компактные гиперболические пространственные формы размерности $n\geq 3$, имеющие изоморфные фундаментальные группы, изометричны.

История

Исследование двумерных гиперболических пространственных форм по существу началось в 1888, когда Пуанкаре изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований комплексной полуплоскости $Im(z)>0$ — фуксовы группы, заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского.

Проблема классификации $n$-мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована Киллнигом, который назвал её проблемой пространственных форм Клиффорда — Клейна; современная формулировка этой проблемы была дана Хопфом (1925).

Вариации и обобщения

Кроме римановых пространственных форм изучались их обобщения: псевдоримановы, аффинные и комплексные пространственные формы и пространственные формы симметрических пространств.