Пространство Орлича

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве N-функций.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим некоторую совокупность функций u(x), удовлетворяющих условию (u, v)=\int_{G}u(x)v(x)dx < \infty, причем M(u), N(v) — взаимно дополнительные друг к другу N — функции, при всех v(x), удовлетворяющих условию \int_{G}N[u(x)]dx < \infty. Введём норму Орлича следующим образом: \parallel u \parallel_{M} = \sup_{\rho(v, N) \leqslant 1 }|\int_{G}u(x)v(x)dx|. Пространством Орлича называется пространство N — функций M(u) c нормой Орлича.

Пояснения[править | править вики-текст]

N — функцией называется функция M(u), допускающая представление M(u)=\int_{0}^{|u|}p(t)dt, где p(t) — положительная при t  > 0, непрерывная справа при t \geqslant 0, неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: p(0)=0,  p(\infty) = \lim_{t \to \infty}p(t)=\infty. Взаимно дополнительными называются N — функции M(u), N(v), удовлетворяющие уравнениям M(u)=\int_{0}^{|u|}p(t)dt, N(v)=\int_{0}^{|v|}q(s)ds , где p(t) — положительная при t  > 0, непрерывная справа при t \geqslant 0, неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: p(0)=0,  p(\infty) = \lim_{t \to \infty}p(t)=\infty, а q(s) определена при s  \geqslant 0 равенством q(s)=\sup_{p(t) \leqslant s} t.

Литература[править | править вики-текст]

  • Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит, 1958. — С. 271.