Пространство Соболева

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пространство Соболеваматематике) — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега (L_p(Q)), имеющих обобщенные производные заданного порядка из L_p(Q). При 1 \leqslant p \leqslant \infty пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при p=2 пространства Соболева являются гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение H^k(Q).

Для области Q\subset R^n норма в соболевском пространстве W^k_p(Q) порядка k
\geqslant 1 и суммируемых со степенью 1 \leqslant p<\infty вводится по следующей формуле:

\|u\|_{W^k_p(Q)}=\left(\sum\limits_{\alpha \leqslant k}\int\limits_Q|D^\alpha u|^pdx\right)^{1/p},

а при p=\infty норма выглядит следующим образом:

\|u\|_{W^k_\infty(Q)}=\sum\limits_{\alpha \leqslant k}\mathrm{ess } \sup|D^\alpha u|,

где \alpha — это мультииндекс, а операция D^\alpha есть обобщенная производная по мультииндексу.

Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.

Введение и история вопроса[править | править вики-текст]

Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.

В работе К.О. Фридрихса 1934 года[1] при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева H^1_0(Q) — пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) еще не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе С.Л. Соболева[2] вводятся обобщенные решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщенные решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.

В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Ф. Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха-Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева-Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщенные решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.

В 1940-х годах О.А. Ладыженской было предложено определять обобщенные решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщенных решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.

Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах современной математики.

Свойства пространств Соболева[править | править вики-текст]

  • Для любой области Q'\subset Q из f\in W^k_p(Q) следует, что f\in W^k_p(Q').
  • Если f\in W^k_p(Q) и a\in C^k(\overline Q), то af\in W^k_p(Q).
  • Если f\in W^k_p(Q) финитная в Q, то продолжение этой функции нулем принадлежит W^k_p(Q') для любой Q\subset Q'.
  • Пусть y=y(x) есть гладкое и взаимно однозначное отображение области Q на область \Omega и F\in W^k_p(\Omega), тогда функция f(x)=F(y(x)) принадлежит пространству W^k_p(Q).
  • Пространства Соболева W^k_p(Q) являются сепарабельными пространствами.
  • Если граница области Q удовлетворяет условию Липшица, то множество C^\infty(\overline Q) плотно в W^k_p(Q).
  • Пусть u, v\in W^k_p(Q), где Q - ограниченная область в R^n, звездная относительно некоторого шара. Если kp>n, то их поточечное произведение uv, определенное почти всюду в Q, принадлежит пространству W^k_p(Q), более того, существует положительная константа C, зависящая только от k,n,p такая, что
\|uv\|_{W^k_p} \leq C\|u\|_{W^k_p}\|v\|_{W^k_p}, иными словами, W^k_p(Q) является коммутативной банаховой алгеброй, умножение в которой согласовано с нормой \|u\|_{W^k_p(Q)^*}= C\|u\|_{W^k_p(Q)}.
  • Пространства W^k_p(Q) при 1<p<\infty являются рефлексивными пространствами.
  • Пространства W^k_2(Q)=H^k(Q) являются гильбертовыми пространствами.

Пространства Соболева H^k_0(Q)[править | править вики-текст]

В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через H^k_0(Q) и вводятся как замыкания множества C^\infty_0(Q) по норме пространства H^k(Q), где C^\infty_0(Q) есть множество финитных в Q бесконечно дифференцируемых функций.

Пространства H^k_0(Q) являются замкнутыми подпространствами в H^k(Q). При наличии определенной гладкости границы области Q это пространство совпадает с множеством функций из H^k(Q), имеющих нулевой след на границе области Q и нулевой след всех обобщенных производных вплоть до k-1-го порядка.

Пространства Соболева во всем пространстве[править | править вики-текст]

Пространства Соболева H^s(R^n) можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции f(x)\in L_2(R^n) определено преобразование Фурье \hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\,dx, причем, \hat{f}(\omega)\in L_2(R^n). Пространство Соболева H^s(R^n) определяется следующим образом:

H^s(R^n)=\{f\in L_2(R^n):(1+|\omega|^2)^{s/2}\hat{f}(\omega)\in L_2(R^n)\}.

Пространства Соболева на торе[править | править вики-текст]

Пусть T^nn-мерный тор. Пространство Соболева на торе T^n, то есть 2\pi-периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:

H^k(T^n)=\{f\in L^2(T^n):\sum\limits_{m_1,\dots,m_n=-\infty}^\infty (1+m_1^{2k} + m_2^{2k} + \dots + m_n^{2k}) |f_{m_1m_2\dots m_n}|^2 < \infty\}.

Пространства Соболева дробного порядка[править | править вики-текст]

Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть W^{s,p} или H^s.

В случае 0<s<1 пространство W^{s,p} состоит из функций f\in L_p(Q), Q\subset R^n таких, что

\|f\|_{W^{s,p}}=\left(\|f\|^p_{L_p(Q)}+\int_Q\frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+ps}}dxdy\right)^{1/p}.

Для нецелого s>1 положим s=[s]+\sigma, где [s] — целая часть s. Тогда W^{s,p}(Q) состоит из элементов W^{[s],p}(Q) таких, что D^\alpha f\in W^{\sigma,p}(Q) для |\alpha|=[s] с нормой

\|f\|_{W^{s,p}}=\left(\|f\|^p_{W^{[s],p}(Q)}+\sum\limits_{|\alpha|=[s]}\|D^\alpha f\|^p_{W^{\sigma,p}(Q)}\right)^{1/p}.

Пространства Соболева отрицательного порядка[править | править вики-текст]

При рассмотрении обобщенных решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство H^{-k}(Q) определяется по формуле:

H^{-k}(Q)=\left(H^k_0(Q)\right)'

где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщенных функций. Так, например, пространство H^{-1}(-1,1) содержит дельта-функцию Дирака.

Теоремы вложения[править | править вики-текст]

Предполагая, что граница области Q\subset R^n удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.

Теорема вложения Соболева[править | править вики-текст]

Если k+n/p<s, то имеет место непрерывное вложение

W^s_p(Q)\subset C^k(\overline Q).

Здесь k предполагается целым и неотрицательным, а s может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема Реллиха-Кондрашова[править | править вики-текст]

Пусть область Q ограничена, s_1>s_2, 1<p_1,p_2<\infty и n(1/p_1-1/p_2)<s_1-s_2, тогда: вложение W^{s_1}_{p_1}(Q)\subset W^{s_2}_{p_2} вполне непрерывно.

С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.

Показательные примеры[править | править вики-текст]

Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.

Пример разрывной функции[править | править вики-текст]

Пусть Q=\{x\in R^2:|x|<1/2\} — круг на плоскости. Функция u(x)=\ln|\ln|x|| принадлежит пространству H^1(Q), но имеет разрыв второго рода в точке x=0.

Пространства Соболева в одномерном случае[править | править вики-текст]

Функции из пространства H^1(a,b) являются непрерывными, более того представимые по формуле:

f(x)=f(a)+\int_a^xF(t)dt, [источник не указан 772 дня]

где функция F\in L_2(a,b) является обобщенной производной функции f на [a,b].

Для любых двух функций из пространства H^1(a,b) произведение этих функций также принадлежит H^1(a,b). Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]