Пространство Харди

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пространство Харди — особый вид функциональных пространств в комплексном анализе, аналог L^p-пространства из функционального анализа. Названо по имени английского математика Харди.

Определение[править | править вики-текст]

Пространство Харди  \ H^p при 0<p<\infty — это класс голоморфных функций на открытом единичном круге на комплексной плоскости, удовлетворяющих следующему условию

\sup_{0<r<1} \left(\frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \left|f(re^{i\theta})\right|^p \; d\theta\right)^\frac{1}{p}<\infty.

Левая часть этого неравенства называется  \ p-нормой в пространстве Харди или просто нормой Харди для \ f, и обозначается \ |f|_{H^p}. Как и в случае L^p-пространств, данная норма обобщается на случай p=\infty как

|f|_{H^\infty}\ =\ \sup_{0<r<1} \sup_{z:\ |z|=r} |f(z)|\ =\ \sup_{z:\ |z|<1} |f(z)|.

Для случая  0<p<q\le\infty можно показать, что  \ H^q является подмножеством множества  \ H^p .

Применения[править | править вики-текст]

Подобные пространства применяются как в классическом математическом анализе, так и в других ветвях анализа и его приложениях, например, гармоническом анализе, теории управления (в частности, для синтеза робастных систем управления) и теории рассеивания.

См. также[править | править вики-текст]