Простые числа Эйзенштейна

Небольшие простые числа Эйзенштейна. Точки на зеленых осях соответствуют натуральным простым числам вида 3n − 1. Все остальные в квадрате дают натуральное простое

.

В математике простым числом Эйзенштейна называется целое число Эйзенштейна

$z = a + b\,\omega\qquad(\omega = e^{2\pi i/3})$,

являющееся неприводимым (что эквивалентно простым) элементом Z[ω] в смысле теории колец. Делителями целых чисел Эйзенштейна являются только единицы (±1, ±ω, ±ω²), a + bω и их произведения.

Умножение на единицу и сопряжение любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.

Целое число Эйзенштейна z = a + bω является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда одно из следующих взаимоисключающих условий выполняется:

1. z является произведением одной из единиц на натуральное простое вида 3n − 1,
2. |z|² = a² − ab + b² является натуральным простым (сравнимым с 0 или 1  по модулю  3).

Отсюда следует, что абсолютное значение квадрата любого целого числа Эйзенштейна является либо простым числом, либо квадратом простого числа.

Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, которые равны натуральным простым 3n − 1 :

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101 последовательность A003627 в OEIS.

Натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю  3, не являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в Z[ω]. Примеры:

3 = −(1 + 2ω)²

7 = (3 + ω)(2 − ω).

Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными

2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.

С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные выше числа, вместе с 2 и 5, - это все простые числа Эйзенштейна, не превосходящие по абсолютному значению 7.

К марту 2010 наибольшим известным натуральным простым Эйзенштейна было 19249 × 2^13018586 + 1, которое в десять раз больше наибольшего простого числа, найденного Константином Агафоновым. Все большие известные простые являются простыми числами Мерсенна, обнаруженные GIMPS. Натуральные простые Эйзенштейна сравнимы с 2 по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них, 3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, никакое простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

Смотрите также

• Гауссовы целые числа