Противоположное число

Противоположное число $n'$ по отношению к числу $n$ — это число, которое при сложении с $n$ даёт нуль. А данное явление называется взаимным уничтожением слагаемых.

$n+n'=0$

Для любого действительного (или комплексного) числа существует число, противоположное ему. Число 0 противоположно самому себе.

Противоположное к действительному

Из определения противоположного числа следует

$n' = -n$

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки. В соответствии с этим, противоположное числу $n$ обозначают $-n$.

Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот. Существует лишь одно число, противоположное к которому совпадает с ним самим. Это число нуль.

Не стоит путать термины «противоположное число» и «обратное число». Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равняется единице. Например, число, обратное к 7, это 1/7, а противоположное -7.

Противоположное к комплексному

Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Обратное $(-z)$
Алгебраическая	$x+iy$	$-x-iy$
Тригонометрическая	$r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$	$-r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$
Показательная	$re^{i \varphi}$	$-re^{i \varphi}$

__________Обозначение__________ $z \in \mathbb{C}$ (комплексное число), $x = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}$ (действительная часть комплексного числа), $y = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R}$ (мнимая часть комплексного числа), $i$ — мнимая единица, $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ (модуль комплексного числа), $\varphi=\operatorname{arg}z= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}$ (аргумент комплексного числа), $e$ - основа натурального логарифма.

Противоположное к мнимой единице

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), противоположное и обратное числа к которым равны. Это $\pm i$.

Число	Равенство противоположного и обратного
	Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
$i$	$-i = \frac{1}{i}$	$-i = i^{-1}$
$-i$	$i = - \frac{1}{i}$	$i = -i^{-1}$

__________Доказательство__________ Покажем доказательство для $i$ (для $-i$ аналогично). Используем основное свойство дроби: $\frac{1}{i}=\frac{1 \cdot i}{i \cdot i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$ Таким образом, получаем $-i = \frac{1}{i}$__или__$-i = i^{-1}$ Аналогично для $-i$: __ $i = - \frac{1}{i}$ __ или __ $i = -i^{-1}$

См. также

Обратное число