Процедура Кэли — Диксона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Процедура Кэли — Диксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом), с удвоением размерности на каждом шагу. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением.

Общий случай[править | править исходный текст]

Если для некоторых чисел \ a и \ b существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как \ |a|^2 = a \bar{a} (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел \ (a, b):

  • \ (a, b)(c, d) = (a c - \bar{d} b, d a + b \bar{c}) — закон умножения пар,
  • \ \overline{(a, b)} = (\bar{a}, -b) — сопряжённая пара.

Свойства[править | править исходный текст]

  • (расширенная) норма упорядоченной пары:
\ |(a, b)|^2 = (a, b) \overline{(a, b)} = (a, b) (\bar{a}, -b) = (a \bar{a} + b \bar{b}, b a - b a) = (|a|^2 + |b|^2, 0 ) = |a|^2 + |b|^2 — равна нулю только при a = b = 0.
  • Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление \ r / q определяется как \ \frac{\bar{r} q}{|q|^2} или \ \frac{q\bar{r} }{|q|^2} — значит из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.
  • Если для чисел выполняется \ \overline{ab} = \bar{b} \cdot \bar{a}, это выполняется и для упорядоченных пар:
\ \overline{(a, b)(c, d)} = (\bar{c} \bar{a} - \bar{b} d, -d a - b \bar{c}) = (\bar{c}, -d) (\bar{a}, -b) = \overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}.
\ |rq|^2=(rq)\overline{(rq)} = (r q)(\bar{q} \bar{r}) = r (q \bar{q}) \bar{r}=|r|^2 \cdot |q|^2.

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Наследуемые[править | править исходный текст]

Если исходная алгебра имеет единицу, то (1, 0) — единица в расширенной алгебре.

Если в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или xx* ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней (англ. power associative).

Ослабляемые[править | править исходный текст]

  1. Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
  2. Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
  3. Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или xx* коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.

Можно проследить на примере чисел, как из поля R с тождественным сопряжением получается поле C (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) H, откуда получается неассоциативная алгебра O, но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т.к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.

Приложения[править | править исходный текст]

Кватернионы[править | править исходный текст]

Произвольный кватернион \ q = a + bi + cj + dk  можно представить в виде \ q = (a + bi) + (c + di)j или эквивалентно \ q = z_1 + z_2 \cdot j, \quad z_1 = a + b\cdot i, \quad z_2 = c + d\cdot i, где \ z_1, z_2комплексные числа, поскольку \ i^2 = -1 выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а  k = i\cdot j.

Возьмём ещё один кватернион \ r=w_1+w_2 j. Перемножив и раскрыв скобки (т.к. умножения кватернионов ассоциативно) получим:

\ qr = (z_1 + z_2 j)(w_1 + w_2 j) = z_1 w_1 + z_1 w_2 j +  z_2 j w_1 +  z_2 j w_2 j.

Поскольку \ zj=j \bar{z}, \; zw=wz, то переставляя множители получим: \ qr = (z_1 w_1 - \bar{w_2} z_2) +  (w_2 z_1 +  z_2 \bar{w_1}) j.

Следовательно кватернионы можно определять как выражения, вида \ z_1 + z_2 \cdot j, удовлетворяющие вышеприведенной формуле умножения. Данная формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т.е. кватернионов с z_2=w_2=0).

Обобщения[править | править исходный текст]

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имела квадрат равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять[1] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда тогда норма и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Albert A.A. «Quadratic forms permitting composition». Annals of Mathematics. Second Series, vol. 43, pp. 161–177

Ссылки[править | править исходный текст]