Процедура Кэли — Диксона

Процедура Кэли — Диксона (процедура удвоения) — это рекурсивная процедура построения алгебр над полем вещественных чисел, с удвоением размерности на каждом шагу. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.п. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с единицей.

Кватернионы

Произвольный кватернион $\ q = a + bi + cj + dk$  можно представить в виде $\ q = (a + bi) + (c + di)j$ или эквивалентно $\ q = z_1 + z_2 * j, \quad z_1 = a + b*i, \quad z_2 = c + d*i,$ где $\ z_1, z_2$ — комплексные числа, поскольку $\ i^2 = -1$ выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а $k = i*j$.

Возмём ещё один кватернион $\ r=w_1+w_2 j.$ Перемножив и раскрыв скобки (т.к. умножения кватернионов ассоциативно) получим:

$\ qr = (z_1 + z_2 j)(w_1 + w_2 j) = z_1 w_1 + z_1 w_2 j + z_2 j w_1 + z_2 j w_2 j$.

Поскольку $\ zj=j \bar{z}, \; zw=wz,$ то переставляя множители получим: $\ qr = (z_1 w_1 - \bar{w_2} z_2) + (w_2 z_1 + z_2 \bar{w_1}) j.$

Следовательно кватернионы можно определять как выражения, вида $\ z_1 + z_2 * j$, удовлетворяющие вышеприведенной формуле умножения. Данная формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т.е. кватернионов с $z_2=w_2=0$).

Общий случай

Если для некоторых чисел $\ a$ и $\ b$ существуют понятия: умножения, деления, сопряженного числа и нормы числа как $\ |a|^2 = a \bar{a},$

то эти понятия можно ввести и для упорядоченых пар чисел $\ (a, b)$:

• $\ (a, b)(c, d) = (a c - \bar{d} b, d a + b \bar{c})$ — закон умножения пар,

• $\ \overline{(a, b)} = (\bar{a}, -b)$ — сопряжённая пара.

Свойства

• (расширенная) норма упорядоченой пары:

$\ |(a, b)|^2 = (a, b) \overline{(a, b)} = (a, b) (\bar{a}, -b) = (a \bar{a} + b \bar{b}, b a - b a) = (|a|^2 + |b|^2, 0 ) = |a|^2 + |b|^2$ — равна нулю только при a=b=0.

• (расширенное) деление $\ r / q$ определяется как $\ \frac{\bar{r} q}{|q|^2}$ или $\ \frac{q\bar{r} }{|q|^2}$ — значит из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.

• Если для чисел выполняется $\ \overline{ab} = \bar{b} \cdot \bar{a},$ это выполняется и для упорядоченных пар:

$\ \overline{(a, b)(c, d)} = (\bar{c} \bar{a} - \bar{b} d, -d a - b \bar{c}) = (\bar{c}, -d) (\bar{a}, -b) = \overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}.$

• Если для упорядоченных пар выполено предварительное условие и условие альтернативности, то они образуют нормированную алгебру, поскольку:

$\ |rq|^2=(rq)\overline{(rq)} = (r q)(\bar{q} \bar{r}) = r (q \bar{q}) \bar{r}=|r|^2 \cdot |q|^2.$

Обобщения

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имела квадрат равный «-1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см.Алгебры Клиффорда). Правда тогда норма и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.

Ссылки

• Dickson, L. E. (1919), "«On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem»", en:Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865 
• HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
• И.Л.Кантор, А.С.Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.
• Е.А.Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»