Процесс Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пуассо́на пото́к (проце́сс), (устар. Пуассоновский процесс[1]) — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

\Lambda(A)=\int\limits_{a}^{b} \lambda(t)\, dt

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.[2]

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Классификация[править | править вики-текст]

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона[править | править вики-текст]

Пусть \lambda > 0. Случайный процесс \{X_t\}_{t \ge 0} называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью \lambda, если

  1. X_0 = 0 почти наверное.
  2. \{X_t\}процесс с независимыми приращениями.
  3. X_t - X_s \sim \  \mathrm{P}(\lambda(t-s)) для любых 0 \le s < t < \infty, где \mathrm{P}(\lambda(t-s)) обозначает распределение Пуассона с параметром \lambda(t-s).

Сложный (обобщённый) Пуассоновский процесс[править | править вики-текст]

  • Пусть \xi_1 , ..., \xi_n последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
  • Пусть N(t) - простой пуассоновский процесс с интенсивностью \lambda , не зависящий от последовательности \xi_1 , ...,  \xi_n .

Обозначим через  S_k сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс  \{Y_t\} как  S_{N(t)}  .

Свойства[править | править вики-текст]

\mathbb{P}(X_t = k) = \frac{\lambda^k t^k}{k!} e^{-\lambda t}, \quad k = 0,1,2,\ldots.
  • Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно
\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t = 0) = 1-\lambda h + o(h)
\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t = 1) = \lambda h + o(h)
\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t > 1) = o(h) при h \to 0,

где o(h) обозначает «о малое».

Критерий[править | править вики-текст]

Для того чтобы некоторый случайный процесс \{X_t\} с непрерывным временем был Пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

  1.  X_0 = 0 .
  2. Процесс имеет независимые приращения.
  3. Процесс однородный.
  4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.
  5.  P\{X_h \geq 2\} = o(h) при  h \searrow 0 .

Информационные свойства[править | править вики-текст]

  • Пусть \tau_1,\dots,\tau_n — моменты скачков процесса Пуассона. T= \tau_j- \tau_{j-1}.

Зависит ли T от предыдущей части траектории?
\mathbb P(\{T>t+s \mid T>s\}) — ?

Пусть u(t)= \mathbb P(T>t).

u(t\mid s)=\frac{ \mathbb P(T>t+s\cap T>s)}{ \mathbb P(T>s)}=\frac{\mathbb P(T>t+s)}{\mathbb P(T>s)}
u(t\mid s)u(s)=u(t+s)
u(t\mid s)=s(t) \Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

  • Рассмотрим отрезок [a,b] на временно́й оси.

X(b)-X(a)=n — число скачков на отрезке [a,b].
Условное распределение моментов скачков \tau_1,\dots,\tau_n\mid X(b)-X(a)=n совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины n из R[a,b].

Плотность этого распределения f_{\tau_1,\dots,\tau_n}(t)=\frac{n!}{(b-a)^n}\mathbb{I}(t_j\in[a,b]\ \forall j=\overline{1,n})

ЦПТ[править | править вики-текст]

  • Теорема.

\mathbb P\biggl(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{ \lambda t}}< x\biggr)\underset{\lambda t\to\infty}{\overset x\rightrightarrows}\Phi(x)\sim N(0,1)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{u^2}2}du

Скорость сходимости:
\sup\limits_x\biggl|\mathbb P \biggl(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{\lambda t}}< x \biggr)-\Phi(x)\biggr| \leqslant\frac{C_0}{\sqrt{ \lambda t}},
где C_0константа Берри-Эссеена.

Применение[править | править вики-текст]

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.

Литература[править | править вики-текст]

  • Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
  • ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
  • Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 4. — 1104 с. — 148 800 экз.
  2. Словарь по кибернетике / Под редакцией академика В. С. Михалевича. — 2-е. — Киев: Главная редакция Украинской Советской Энциклопедии имени М. П. Бажана, 1989. — С. 534. — 751 с. — (С48). — 50 000 экз. — ISBN 5-88500-008-5.

См. также[править | править вики-текст]