Процесс с независимыми приращениями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проце́сс с незави́симыми прираще́ниями в теории случайных процессов — это обобщение понятия суммы независимых случайных величин.

Определение[править | править вики-текст]

Случайный процесс \{X_t\}_{t \in T}, где T \subset [0,+\infty) называется процессом с независимыми приращениями, если для любых t_0,t_1,\ldots,t_n \in T таких, что 0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_{n-1} < t_n, случайные величины :X_{t_0},X_{t_1} - X_{t_0},\ldots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}} независимы.

Замечание[править | править вики-текст]

  • Пусть T = \mathbb{N} \cup \{0\}. Положим Y_n = X_n - X_{n-1},\; n \in \mathbb{N}. Тогда
X_n = \sum\limits_{i=1}^n Y_i,

и \{Y_n\}_{n\ge 1} — независимые случайные величины.

Свойства[править | править вики-текст]

\phi_{X_t-X_r}(u) = \phi_{X_s-X_r}(u) \cdot \phi_{X_t-X_s}(u)

для любых 0 \le r < s < t < \infty и u \in \mathbb{R}.

  • Любой процесс с независимыми приращениями является марковским. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры[править | править вики-текст]