Процесс с независимыми приращениями

Проце́сс с незави́симыми прираще́ниями в теории случайных процессов — это обобщение понятия суммы независимых случайных величин.

Определение

Случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T}$, где $T \subset [0,+\infty)$ называется процессом с независимыми приращениями, если для любых $t_0,t_1,\ldots,t_n \in T$ таких, что $0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_{n-1} < t_n$, случайные величины :$X_{t_0},X_{t_1} - X_{t_0},\ldots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$ независимы.

Замечание

• Пусть $T = \mathbb{N} \cup \{0\}$. Положим $Y_n = X_n - X_{n-1},\; n \in \mathbb{N}$. Тогда

$X_n = \sum\limits_{i=1}^n Y_i$,

и $\{Y_n\}_{n\ge 1}$ — независимые случайные величины.

Свойства

• Пусть $\{X_t\}_{t \in T}$ — случайный процесс, а $\phi_{X_t - X_r}$ — характеристическая функция случайной величины $X_t - X_r$, где $t > r$. Тогда $\{X_t\}$ — процесс с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда выполняется равенство

$\phi_{X_t-X_r}(u) = \phi_{X_s-X_r}(u) \cdot \phi_{X_t-X_s}(u)$

для любых $0 \le r < s < t < \infty$ и $u \in \mathbb{R}$.

• Любой процесс с независимыми приращениями является марковским. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры

• Винеровский процесс;
• Пуассоновский процесс.