Прямоугольная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Прямоугольная функция

Прямоугольная функция, единичный импульс, прямоугольный импульс, или нормированное прямоугольное окно — кусочно-постоянная функция следующего вида:

\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0,           & |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2}, & |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1,           & |t| < \frac{1}{2}
\end{cases}

Другое определение функции через функцию Хевисайда, u(t):

\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)

или, иначе:

\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) - u \left( t - \frac{1}{2} \right)

Нормированная прямоугольная функция:

\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\,dt=1

Преобразование Фурье прямоугольной функции:

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),

при нормировке sinc-функции,


\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt
= \mathrm{sinc}(f)

Треугольная функция может быть определена как свёртка двух прямоугольных функций:

\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t) \;

На основе бесконечнократных свёрток прямоугольных функций, длины которых убывают в геометрической прогрессии, строятся атомарные функции.

См. также[править | править вики-текст]