Прямоугольная функция Прямоуго́льная фу́нкция , едини́чный и́мпульс , прямоуго́льный импульс , или нормированное прямоугольное окно́ кусочно-постоянная функция следующего вида:
r
e
c
t
(
t
)
=
⊓
(
t
)
=
{
0
,
|
t
|
>
1
2
1
2
,
|
t
|
=
1
2
1
,
|
t
|
<
1
2
{\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0,&|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}},&|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1,&|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}}
В этом определении в точках разрыва значение функции определено равным 1/2, но возможно определение этих значений иным способом, например, равным 0 и другими вариантами.
Другое определение функции через функцию Хевисайда
θ
(
t
)
{\displaystyle \theta (t)}
r
e
c
t
(
t
τ
)
=
θ
(
t
+
τ
2
)
−
θ
(
t
−
τ
2
)
,
{\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=\theta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right),}
или, иначе:
r
e
c
t
(
t
)
=
θ
(
t
+
1
2
)
−
θ
(
t
−
1
2
)
.
{\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right).}
Значение функции в точках разрыва зависит от определения значения функции Хевисайда в её точке разрыва.
Интеграл прямоугольной функции по всей прямой:
∫
−
∞
∞
r
e
c
t
(
t
)
d
t
=
1.
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1.}
Функция sinc(x) является спектром прямоугольной функции Спектральный образ прямоугольной функции:
1
2
π
∫
−
∞
∞
r
e
c
t
(
t
)
⋅
e
−
i
ω
t
d
t
=
1
2
π
⋅
s
i
n
c
(
ω
2
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right),}
s
i
n
c
(
ω
2
)
=
s
i
n
(
ω
/
2
)
(
ω
/
2
)
{\displaystyle \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)={\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\left(\omega /2\right)}}}
sinc-функция .При использовании нормированной sinc-функции:
∫
−
∞
∞
r
e
c
t
(
t
)
⋅
e
−
i
2
π
f
t
d
t
=
s
i
n
c
(
f
)
.
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {sinc} (f).}
Треугольная функция может быть определена как свёртка двух прямоугольных функций:
t
r
i
(
t
)
=
r
e
c
t
(
t
)
∗
r
e
c
t
(
t
)
.
{\displaystyle \mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)\;.}
На основе бесконечнократных свёрток прямоугольных функций, длины которых убывают в геометрической прогрессии , строятся атомарные функции .
![{\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0,&|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}},&|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1,&|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553f9b2d11ee68d8631079a7eccfe0a9bd36ac23)
.svg)
